Происходящие изменения в мире и обществе, рост объема информации и расширение доступа к ней, предъявляют требования к интеллектуальным качествам человека, его творческим способностям и возможностям. Решающее значение приобретают системность, умения применять знания в разных сферах деятельности, способность увидеть связи между явлениями различной природы, создать новое, принять взвешенное решение. Говоря словами Л.Я. Зориной, «нужно воспитывать человека свободного, умеющего принимать решения и ответственность, терпимого, рефлексирующего, гуманного. У обучающегося необходимо формировать целостную картину мира и единство методов его познания» [1, с. 188]. Способность к получению нового знания (результата) относится к характеристике творческой личности.
Говоря о креативности и творчестве, нужно уточнять область их приложения. Так как творчество в искусстве не тоже самое, что в познавательной или научной деятельность. В данном случае речь пойдет об учебной деятельности. Чаще всего здесь творчество связывают с самостоятельным открытием, получением новых знаний и способов деятельности.
Вклад в исследование проблем развития творческого мышления внесли отечественные психологи и педагоги Д.Б. Богоявленская [2], В.А. Крутецкий [3], И.Я. Лернер [4], А.М. Матюшкин [5, 6] и др.
И.Я. Лернер с дидактических позиций выделил компоненты творческих способностей: переносить ранее приобретенные знания, умения и навыки в новую ситуацию, используя прежний опыт при решении новой творческой задачи; видеть новые функции объекта, подлежащего изучению, видеть его структуру; видеть альтернативы способа решения проблемы и самого решения, т.е. допущение разных решений одной творческой задачи [4, с. 12-15].
Б.С. Касумова [7], исследуя возможности дивергентных задач, предлагает для развития творческого мышления школьников использовать такие задачи, поощрять дивергентные идеи и предложения учеников, демонстрировать позитивные образцы и примеры проявления креативности мышления в различных ситуациях. Автор на материале начальной школы выделяет группы дивергентных задач, понимая при этом сам термин «задача» достаточно широко. В. В. Утемов [8] рассматривает возможности ТРИЗ для развития креативности учащихся основной школы. Автор при этом отмечает, что креативная деятельность протекает поэтапно от понимания задачи, поиска пути (идеи) ее решения, осуществления плана и изучение полученного решения. В принципе это полностью повторяет основные этапы работы с математической задачей. При этом хочется отметить, что, на наш взгляд, любая математическая задача, способ решения которой не известен ученику, требует от него активной поисковой творческой деятельности.
С позиции организации работы со школьниками и целенаправленного развития творческого мышления является интересной точка зрения Р.С. Немова о взаимосвязи между критическим и творческим мышлением. Называя их конкурирующими, автор отмечает: «Человек, у которого критическая тенденция слишком выражена, уделяет основное внимание критике, хотя сам бы мог творить, и неплохо. Напротив, тот человек, у которого конструктивное, творческое мышление доминирует над критическим, часто оказывается неспособным видеть недостатки в собственных суждениях и оценках» [9, с. 289]. Разделяя эту позицию, вслед за Р.С.Немовым повторим, что выход из данного противоречия видится только один: в гармоничном равновесии критического и творческого мышления. «Если человеком высказывается собственная идея, то он сам должен ее сразу же критически осмыслить. Если оригинальная, новая мысль высказана кем-то другим, то наряду с ее критикой необходимо обязательно предлагать свою» [9, с. 289].
Именно с этой позиции и будем исходить при выделении тех умений, которые входят в состав творческой деятельности и могут эффективно формироваться на материале школьного курса математики. При этом будем учитывать понятие и содержание нелинейного стиля мышления, данные в публикациях Е.Н. Князевой, С.П. Курдюмова [10], Л.Г. Шестаковой [11] и др. Получим следующей комплекс умений (который, конечно, может быть дополнен и расширен).
- Конструирование логически верных определений, суждений (признаков, свойств, необходимых и достаточных условий), различных видов умозаключений, их грамотное использование.
- Установление отношений между понятиями, использование родо-видовых отношений. Проведение деления (классификации), ограничения и обобщения понятий.
- Выдвижение и проверка гипотез, осуществление поиска способа решения поставленной задачи.
- Проведение аргументации (доказательства) своей точки зрения. Вычленение в готовом тексте исходных положений и фактов, устанавливаемых автором между ними связей и делаемых на основании этого выводов, их оценка с позиций логичности и убедительности.
- Обнаружение различного вида неточностей и ошибок, их оценка. Проведение опровержения. Выявление причин допущенных ошибок.
- Анализ и сопоставление различных точек зрения, их оценка с позиций обоснованности, убедительности, новизны и последовательности.
- Анализ поставленной задачи; перебор различных комбинаций, удовлетворяющих ей; систематизация условий и данных, отыскание закономерностей.
- Перенос знаний и умений в новую ситуацию, выделение ключевых задач.
- Моделирование различных вариантов развития событий, их сопоставление.
- Перевод ситуации с обычного языка на аналитический, построение математических моделей и работа с ними. Обратный переход от математической модели к обычному языку и реальной ситуации.
Как легко заметить, значительное место в перечне занимают логические умения. Объясняется это тем, что логика вооружает человека правильными приемами рассуждений, поиска способа решения любой познавательной или исследовательской задачи, аргументации и опровержения.
Рассмотрим возможности формирования выделенных умений средствами школьного курса математики. Очевидно, что для формирования умений, непосредственно связанных с логической составляющей мышления (умения 1-4), возможности школьного курса математики велики. А сами эти умения важны и с позиции творческого мышления, (как отмечалось выше акцент делается на познавательной, учебной деятельности), кроме того они лежат в основе остальных выделенных умений.
В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом второго поколения элементы логики включены в школьный курс математики, хотя необходимо отметить, что блок этот очень ограничен и требует расширения. Определенный комплекс логических знаний, лежащих в основе работы с понятиями, их определениями, свойствами и признаками, раскрывающий принципы и приемы построения аргументации, доказательства и опровержения, является необходимым условием для формирования соответствующих умений. Кратко блок логического содержания можно описать следующим образом.
- Понятия, отношения между понятиями, их изображения с помощью диаграмм Эйлера-Вена. Обобщение и ограничение понятий, деление и классификация. Определение понятий, виды и структура определений. Требования к определениям. Корректные и некорректные определения. Отработка умения конструировать определения понятий.
- Логические операции. Простые и сложные суждения, их отрицание.
- Признаки, свойства, характеристические свойства. Необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.
- Основные логические законы, их использование.
- Умозаключения, их структура. Виды умозаключений. Правила проверки правильности умозаключения. Достоверные и вероятные выводы.
- Структура аргументации, доказательства и опровержения. Виды ошибок в доказательстве. Логические софизмы и парадоксы.
- Правила ведения дискуссии. Лояльные и нелояльные приемы спора.
- Гипотеза, выдвижение и работа с ней. Значение гипотез.
Как показывает практика и ряд проведенных исследований, простого знакомства учащихся с логическим содержанием для формирования у них соответствующих умений оказывается недостаточно. Необходима их целенаправленная отработка, которая в принципе не требует значительных временных затрат, так как может проходить параллельно с усвоением предметного содержания. Для этого ученикам предлагаются определенного вида задания, вскрываются возможности применения логического содержания, выявляются и исправляются логические ошибки и неточности, допускаемые школьниками в своих ответах, рассуждениях и т.д. Хочется также обратить внимание на то, что после первичной отработки логические знания и умения начинают оказывать положительное влияние на усвоение и осознание учебного содержания предметов школьного курса, в том числе и математики.
В процессе обучения математическим дисциплинам для решения поставленной задачи можно использовать следующие виды работы. Во-первых, при действиях с понятиями и определениями четко выделять структурные элементы определения (вновь вводимый термин, родовое понятие, видовое отличие для явных определений; перечень требований и отношений для неявных). Следить за логической грамотностью, корректностью и четкостью формулировок. При возможности использования индуктивного пути введения понятия предлагать ученикам самостоятельно выделять родовое понятие, видовое отличие и формулировать определение. Допускаемые школьниками ошибки и неточности необходимо пояснять с помощью конртпримеров. Предлагать задания: «Верно ли сформулировано определение?», «Исправь ошибку» и т.д. Во-вторых, ученик часто работает с рассуждениями, где используются различные виды умозаключений. В связи с этим полезно определять построено ли рассуждение на основе индукции, дедукции или по аналогии, достоверность его вывода. Предлагать ученикам комментировать ответ одноклассника, задавать вопросы. Проводить анализ готовых текстов (рассуждений) с позиции обоснованности точки зрения автора, логичности и последовательности изложения. В-третьих, математика имеет возможность для отработки представлений о гипотезе и умения работать с ней. Так на основе рассмотрения частных случаев (конкретных задач, примеров) школьники выдвигают предположения о формулировках теорем. При работе с задачей высказываются гипотезы о возможных путях (приемах) ее решения. Освоение школьниками путей поиска способа решения задачи (движение от условия к заключению, от заключения к условию, с двух сторон, несовершенный анализ) дает им реальный инструмент для самостоятельного решения проблем, т.е. осуществления творческой деятельности.
Пятое и шестое умения представляют собой перевод знаний (в том числе и логического характера) и первых трех умений на качественно новый уровень, когда ребенок учится анализировать и оценивать готовое решение (свое или чужое), математический текст, устное сообщение. Для целенаправленного формирования этих умений необходимо познакомить школьников с блоком теоретического материала, в состав которого входят: понятие об ошибке; логические и математические софизмы, работа с ними; задания на обнаружение ошибок, выявление их причин; понятие об ошибках по аналогии. Отметим, что отработка перечисленного теоретического материала и формирование умений может проходить не только на материале математики, но и на других предметах. С этой целью школьников знакомят с так называемыми спорными вопросами науки (гипотезами), на которые в настоящее время не найдено однозначного ответа. Сообщают сведения из истории развития математики, раскрывающие перед школьниками процесс становления научных теорий: выдвижение различных гипотез (порой противоречащих друг другу), обоснование одних и опровержение других.
Для того чтобы показать движущие силы развития математики как науки можно провести работу, направленную на формирование представлений о том, что широко распространенный сегодня математический язык складывался на протяжении веков. С позиции выявления связей и взаимозависимостей между процессами и явлениями различной природы, различными науками и сферами деятельности полезно остановиться на двух моментах, характерных для развития математики. Во-первых, показать, что ряд областей и разделов математики возникли и развивались в соответствии с запросами техники и естествознания. Например, такие математические понятия как число, геометрическая фигура, площадь возникли в процессе трудовой деятельности человека. Аналогично потребность практики лежит в основе появления тригонометрии. Развитию математической логики способствовали потребности радиотехники, автоматизации управления различными процессами, попытки моделировать сложные технологические, экономические, биологические процессы. Во-вторых, новые разделы возникали и под воздействием внутренних потребностей самой математики. Но и эти разделы через определенное время находят широкое применение в других науках и технике. Например, необходимость решения квадратных уравнений и уравнений более высокой степени привели к введению иррациональных чисел, а затем и комплексных. Еще одним ярким примером является создание геометрии Лобачевского. Организовать работу с историко-научным материалом можно различным образом: рассказ, сообщение ученика, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников, решение исторических задач, выпуск стенгазет и др.
Рассматриваемые умения могут успешно формироваться и во внеклассной работе. Для этой цели используют диспуты, обсуждения, круглые столы, метод «мозгового штурма». Необходимо создавать условия для свободного выражения мыслей, ставить учеников в ситуации, требующие проводить аргументацию своей точки зрения, генерировать идеи, планировать фантастические проекты, корректно опровергать оппонента и т.д. Нужно целенаправленно формировать умение грамотно задавать вопросы (в том числе и проблемные) и отвечать на них. Принципиально важно снять установку: задавать только такие вопросы, ответы на которые сам ученик знает. Хорошо будет работать прием «поток вопросов».
На формирование седьмого, восьмого и девятого умений, кроме традиционных для школы теорем и задач, задач повышенной трудности, комплексных, с межпредметным и практическим содержанием, заданий с параметрами, будет работать изучение материала вероятностно-статистической линии, введенной в курс математики. Не углубляясь подробно в методику изучения материала названной линии, отметим, что вероятностно-статистическое содержание не должно ограничиваться изолированными блоками уроков. Желательно включать задачи комбинаторики, теории вероятностей и статистики в различные темы школьного курса, реализовывать внутрипредметные и межпредметные связи.
Дополнительно к описанному содержанию значительный интерес с рассматриваемых позиций имеет использование задач с избыточным (недостаточным) набором данных (возможности для формирования математического мышления исследованы Т.А. Безусовой [12]), которые можно разделить на четыре вида:
- задачи с недостающими данными, решение которых требует рассмотрения нескольких случаев (такие задачи в школьных учебниках имеются в достаточном количестве);
- задачи с недостающими данными, не имеющие однозначного решения без существенного дополнения условия;
- задачи с избыточными, не противоречащими друг другу данными;
- задачи с избыточными данными, имеющие противоречивое условие.
Вообще решение задач (с разным конкретным содержательным наполнением) предполагает формирование у школьников умений использовать приобретенные знания и умения в изменяющихся ситуациях.
Будут полезны задачи с открытым вопросом, задания с пропусками в условии, провоцирующие учеников на ошибку, на нерациональный способ решения, ярко выделяющие такое условие, которое является не существенным с позиции задачи. Рассмотрим несколько таких примеров.
Задача 1. Два туриста двигаются из одного пункта по одному маршруту, но разными способами. Один весь путь идет пешком с постоянной скоростью. Другой половину пути проехал на поезде со скоростью, в 10 раз превышающей скорость первого туриста, а вторую половину пути двигался со скоростью, в 2 раза меньшей скорости первого. Кто из туристов окажется в конечном пункте своего маршрута раньше?
Сделанный точно по условию рисунок (хотя там и не сказано, что второй турист сначала едет на поезде) маскирует самый красивый способ решения, уводит в сторону. При работе с этой задачей можно спросить (после того, как ученики над ней уже подумают), изменится ли она, если сначала второй турист будет идти, а потом ехать. В этом случае детям будет легче обнаружить способ решения (на вторую половину пути второму туристу потребуется времени столько, сколько первому на весь путь).
Задача 2. Одна кувшинка затягивает пруд за 30 дней. Известно, что за сутки площадь, занятая кувшинкой, увеличивается в 2 раза. За какое количество дней затянут пруд две кувшинки?
Первый вариант, который обычно озвучивают школьники, – 15 дней. На самом деле после анализа условия получаем, что две кувшинки соответствуют второму дню «работы» одной. Отсюда получается, что двум кувшинкам для затягивания пруда необходимо 29 дней.
Задача 3. Охотник с собакой возвращается домой. Когда они оказываются на расстоянии 1,5 км от ворот дома, собака начинает вести себя следующим образом: она бежит к воротам, затем разворачивается снова к хозяину. Так она бегает между охотником и воротами до тех пор, пока охотник не входит в ворота. Скорость собаки в 2 раза больше скорости охотника. Сколько всего километров пробежит собака, двигаясь таким образом?
В этом случае ученики не могут отвлечься от способа движения собаки, который в данном случае не имеет значения. Собака пробежит расстояние в 2 раза большее тому, которое пройдет охотник (т.к. ее скорость в 2 раза больше), т.е. 3 км.
Задача 4. Пусть скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи. Черепаха опережает Ахиллеса на 100 м. Догонит ли Ахиллес черепаху?
При решении этой задачи в общем виде Зенон Элейский (около 450 г. до н.э.) построил следующую цепочку рассуждений. «Ахиллес и черепаха двигаются в одном направлении по прямой. Ахиллес куда быстрее черепахи, но если черепаха начинает двигаться на некоторое время раньше, то Ахиллес не сможет ее догнать. Так как за время, когда Ахиллес будет пробегать отделяющее его от черепахи расстояние (например, 100 метров), черепаха будет проползать еще какой-то путь (10 м.), опережая Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 10 метров, черепаха за это время проползет еще один метр. И так будет до бесконечности.» Прав ли Зенон?
Задача 4 аналогична задаче 3. Представленные же рассуждения практически всегда выводят учеников на бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: «За то время, когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползет 10 метров. Пока Ахиллес пробежит эти 10 метров, черепаха проползет еще 1 метр и т.д. В результате получится бесконечная геометрическая прогрессия с q=0,1. Остается найти ее сумму: S = 100+10+1+ 0,1+ ...». Второй способ вычисления пути Ахиллеса до того момента, как он догонит черепаху, состоит в ведении переменной х (скорость черепахи). Тогда получим: .
Для формирования гибкости мышления и умения находить разные способы решения проблемы можно предложить ученикам 7-9 классов «помочь и объяснить» пятиклассникам решить задачу.
Задача 5. 3 гвоздя и 2 шурупа весят 40 г, а 5 гвоздей и 3 шурупа – 65 г. Сколько весит 1 гвоздь?
Задача 6. В клетке сидят фазаны и кролики. Общее количество голов – 25, а ног – 72. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Школьники оказались в ситуации, что доступный им алгебраический способ решения задач (достаточно просто приводящий к результату) для пятиклассника еще не известен. Представляют интерес старинный задачи, при работе с которыми желательно придерживаться правила: решаем ее теми средствами, какие были известны автору. Например, можно разобрать приемы составления (по тексту задачи) и решения квадратного уравнения Диофантом.
Задача 7. В треугольнике одна сторона имеет длину 8 м, а другая 10 м. Найти длину третьей стороны.
После того как ученики выяснят, что данных для решения не хватает, просим их дополнить условие. Понятно, что это можно сделать разными способами, получая при этом различные задачи.
Задача 8. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 40 см и 9 см и гипотенузой 41 см.
Площадь треугольника можно найти как полупроизведение 9 и 40. Длина гипотенузы является лишней, поэтому необходимо выяснить, не противоречиво ли условие, будет ли у прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равна 41 см. Видоизменив данные можно получить противоречивое условие (например, длина гипотенузы 42 см), тогда задача не будет иметь решение.
В процессе работы с названными видами задач школьники учатся не формально подходить к описанной ситуации, а анализировать и оценивать ее, находить и вскрывать имеющиеся противоречия, выделять и исследовать различные случаи, удовлетворяющие тексту задачи.
Переходя к десятому умению,отметим, что практически весь школьный курс математики направлен на его формирование. Это и работа с математическими задачами и теоремами, с математическими понятиями и их определениями. Дополнительно обратим внимание на включение в процесс обучения заданий, направленных на переход от математической или графической модели к описанию ситуации в словесной форме. Так по отношению к текстовым задачам можно говорить о необходимости формирования соответствия между тремя звеньями цепочки (умение переходить от одного звена к двум другим):
- текст;
- схема, рисунок, краткая запись;
- математическая модель.
Подводя итог, отметим, что возможности для формирования у школьников творческого мышления имеет практически каждая учебная дисциплина. Для достижения поставленной цели необходимо обращать внимание школьников на работу с нестандартными заданиями, проектами, учить применять знания и умения в различных ситуациях, рассматривать разные подходы к решению проблем, приемам анализа, оценки, выявления закономерностей и т.д.
Ссылки на источники
- Зорина Л.Я. Взаимопроникновение естественной и гуманитарной компонент как один из ведущих показателей качества образования. // Синергетика и образование. Сборник научных статей. – М.: Изд-во «Гнозис», 1997. – С. 187–195.
- Богоявленская Д.Б. Психология творческих способностей: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: «Академия», 2002. – 320 с.
- Крутецкий В.А. Психология: Учеб. для учащихся пед. уч-щ. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.
- Лернер И.Я. Проблемное обучение. – М.: Педагогика, 1974. – 68 с.
- Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.: Педагогика, 1972. – 168 с.
- Развитие творческой активности школьников / Под ред. А.М.Матюшкина. – М.: Педагогика, 1991. – 168 с.
- Касумова Б.С. Дивергентные математические задачи как средство развития креативности мышления у младших школьников: автореферат дисс-ции на соиск. уч. степени канд. пед. наук. – Астрахань, 2010. – 22 с.
- Утёмов В. В. Задачи открытого типа как средство развития креативности учащихся средней школы // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». – 4 квартал 2011, ART 11-4-02. – Киров, 2011 г. – URL: http://www.covenok.ru/koncept/2011/11402.htm. – Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2225-1618.
- Немов Р.С.Психология: Учебник для студентов высш. пед. учеб. заведений: в 3 кн. Кн. 1. – 4-е изд. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 688 с.
- Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. Синергетическое моделирование. – М.: КомКнига, 2005. – 240 с.
- Шестакова, Л.Г. Отбор и построение содержательной составляющей формирования у школьников характеристик нелинейного стиля мышления. ЦИТ: 312-061 // Сборник научных трудов SWorld. Материалы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития ‘2012». – Вып. 3. Том 15. – Одесса: КУПРИЕНКО, 2012. – С. 38–42.
- Безусова Т.А. Некорректные задачи как средство развития культуры математического и естественнонаучного мышления школьников: автореферат дисс-ции на соик. уч. степени канд. пед. наук. – Тюмень, 2008. – 27 с.
L. G. Shestakova
PhD in Education, associate professor, Solikamsk State Pedagogical Institute, Solikamsk
shestakowa@yandex.ru
Formation of creative thinking among pupils on the basis of mathematics
Abstract. Skills that are part of creative thinking are extracted in the paper. Moreover, creative thinking is considered from the point of view of educational, cognitive activity. Different kinds of work, and tasks that could be used in the process of learning mathematics to form these skills are suggested.
Key words: creative thinking, formation of creative thinking,skills, tasks for development creative thinking among pupils.