План.
1. Характеристики случайной величины.
2. Основные понятия математической статистики.
3. Математические методы анализа случайных явлений и процессов.
1. Характеристики случайной величины.
Выше мы ввели в рассмотрение понятие случайной величины. Говорят, что дискретная случайная величина Х полностью определена с вероятностной точки зрения, если заданы все ее возможные значения x1, x2,..., xn и соответствующие им вероятности p1, p2, ..., pn. Такое соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями и их вероятностями, называется законом (или рядом) распределения вероятностей дискретной (прерывной) случайной величины. Для непрерывной случайной построить ряд распределения невозможно, т.к. она имеет бесконечное (несчетное) множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток. Для количественной характеристики непрерывных распределений вводится понятие функции (или интегрального закона) распределения
F(x) = P(X < x),
где P(X < x) - вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение, не превышающее некоторого текущего значения х , т.е. попадет левее точки х.
Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин (как дискретных, так и непрерывных) и полностью характеризует их с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Для описания непрерывной случайной величины наряду с функцией распределения часто также используется ее производная
f(x) = F'(x),
характеризующая плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Функцию f(x) называют плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины.
Во многих случаях нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Такие параметры, назначение которых - выразить в сжатой форме основные особенности распределения, называют числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей и математической статистике наиболее часто используются следующие числовые характеристики:
- характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.
Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений, т.е.
M(X) = Σ xipi.
Модой Mo(X) случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.
Медианой Me(X) случайной величины называется такое ее значение, для которого
P(X < Me(X)) = P(X > Me(X)),
т.е. одинаково вероятно окажется ли случайная величина меньше или больше Me(X).
- характеристики рассеяния: дисперсия, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации.
Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины, т.е.
D(X) = Σ yi2 pi = Σ(xi - M(X))2pi.
Величина Y = X - M(X) называется центрированной случайной величиной, соответствующей случайной величине Х.
(см. файл ниже)