Урок по математике "Комбинаторика – младшая сестра вероятности"

Цель – научить учащихся вычислять вероятности в задачах, описывающих жизненные ситуации.

Задачи:

• Развитие умения решать задачи путём логических рассуждений

• Развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;

• Развитие коммуникативных и творческих способностей учащихся.

 

Учитель: Здравствуйте. Я рада видеть вас на этом необычном уроке. Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая.

И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

Задача 1. У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Разыгрываем сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1) 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2) 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей.

Учитель: Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, не потому что выбора нет, а потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только пятерки.

Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Невозможным событием называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

Разделите следующие события на три группы. (На доске закреплены три круга. Ребята вытягивают задание из коробки, отвечают и

У вас на столах лежат листочки с заданиями, выполните 1 задание
1. Задание.  Тест (самостоятельная работа)

• В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.  Какое из перечисленных событий является невозможным: А = «вынули 4 шара, и все они синие», В = «вынули 4 шара, и все они красные», С = «вынули 4 шара, и все они разных цветов».

Ответы:

А

В

С

 

• В коробке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.  Какое из событий является достоверным: А = «вынули 4 шара, и все они красные», В = «вынули 3 шара, и все они разных цветов», С = «вынули несколько шаров, и среди них не было чёрного».

Ответы:

А

В

С

 

• Бросают игральный кубик. Какие события являются равновозможными (равновероятными) с событием А = «выпадет чётное количество очков», В = «выпадет тройка», С = «выпадет количество очков, меньшее 4», D = «выпадет количество очков, большее 4».

Ответы:

В

С

D

 

• В лотерее участвуют 50 билетов, и разыгрывается 1 приз. Вы купили 3 билета. Каковы ваши шансы на то, что вы останетесь ни с чем?

Ответ:

3/50

47/50

1/2

 

Учитель: Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII веке. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин.

В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике и др.»

Во взрослой жизни человеку часто приходится стоять перед выбором: куда пойти учиться, какую профессию выбрать, чтоб не оказаться в ряду безработных, какую модель поведения в себе построить, какой стиль одежды предпочесть… Другими словами, из всего возможного выбрать тот вариант, (тот путь, ту комбинацию), который приведет к положительному и лучшему исходу в сложившейся ситуации. Во всех случаях приходится человеку прежде, чем принять решение, продумать все возможные варианты, комбинации. И при этом выбрать наилучший (говорят «оптимальный»).  Вот какая связь комбинаторики с жизнью. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать количество таких комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными

Какие задачи называются комбинаторными? (Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов)

– Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи? (С помощью правила умножения и с помощью дерева возможных вариантов)

– В чем заключается правило умножения? (Если первый элемент в комбинации можно выбрать, а способами, после чего второй элемент b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a ^. b).

– В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?

 

Рассмотрим алгоритм решение задач:

Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

– Сколько цифр дано? (Четыре)

– Какое условие поставлено? (Цифры не должны повторяться)

– Какая цифра может стоять на первом месте? (Любая)

– Если цифру поставили на первое место, может она занимать второе, третье место? (Нет)

 

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других. А третьей – любая из двух оставшихся. Всего из данных цифр можно составить 4 ^. 3 ^. 2 = 24 трехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

 

Задача №2. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

(Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается составить разные варианты флагов?)

Решим её, используя перебор возможных вариантов:

Ответ: 6 вариантов

Итак, при решении этой задачи мы искали способ перебора возможных вариантов. Во многих случаях оказывается полезным прием построения картинки-схемы перебора вариантов. Это, в-первых, наглядно, во-вторых, позволяет нам все учесть, ничего не пропустить.

Решение   Флаг

Варианты БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Ответ: 6 вариантов.

Вопрос, ответ на который должны знать все, какой из представленных вариантов флагов – государственный флаг РФ.

Оказывается, не только флаг России имеет эти три цвета. Есть государства, флаги которых, имеют такие же цвета.

КБС – Люксембург и Нидерланды.

СБК – Франция

Учитель: Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Вывод: для удобства перечисления всех возможных вариантов мы пользовались деревом вариантов. При большом количестве комбинаций дерево быстро ветвится и становится необозримым. Поэтому для подсчета количества комбинаций, если не требуется перечислить все комбинации, лучше пользоваться правилом умножения.

Основное правило произведения:

Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать, а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно, а х b.

ФИЗМИНУТКА (чайка)

Сейчас мы проверим с вами, кто из нас самый внимательный. Чайка находится в клетке А1. Вы должны проследить глазками за полетом чайки. В какой клетке окажется чайка? (Г4)

Учитель: Вы знаете основные приёмы решения комбинаторных задач. У вас на столах лежат листы с условиями задач. Решите эти задачи, записывая их решение на этих листах в специально отведённых строчках. Воспользуйтесь подсказками в выборе верного способа решения. (Самостоятельная работа)

 

По окончании работы, учащиеся проверяют свои решения по образцу на слайдах (3, 4, 5, 7).

Учитель: Ребята, как вы думаете, когда и в связи, с чем у людей возникла необходимость решать задачи, связанные с выбором тех или иных предметов, расположением их в определённой последовательности?

Ученик: Я думаю, что люди пришли к необходимости решать задачи, связанные с перестановками и сочетаниями в глубокой древности. Наилучшее расположение людей на охоте, воинов во время сражения, оптимальная комбинация орудий труда требовали таких знаний. С развитием производственных и общественных отношений между людьми, задачи усложнялись, совершенствовались и умения решать такие задачи.

Учитель: Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, так как именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Теорию вероятностей можно описательно определить, как математическую теорию случайных явлений.

В повседневной жизни мы часто пользуемся словами «вероятность», «шанс» и т.д. «К вечеру, вероятно, пойдет дождь», «вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню», «это совершенно невероятно!», «есть шанс, что успешно сдам экзамен» и т.д. – все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Вероятность математическая – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики

 

• Какова вероятность того, что у случайно выбранного жителя Земли день рождения приходится на 1января?

Ответы:

0

1

1/365

 

• Из букв русского алфавита выбрали случайным образом 1 букву. Какова вероятность того, что она будет гласной?

Ответы:

9/33

10/33

1/2

 

– Почему при большом количестве комбинаций неудобно пользоваться деревом вариантов?

– Какое правило вы знаете для подсчета количества комбинаций? Сформулируйте его.

Рефлексия. Что нового узнали на уроке? Что уже было знакомо ранее? Какие задачи вызвали наибольшее затруднение? Какая задача понравилась больше остальных?

– Составить и решить две комбинаторных задачи на составление многозначных чисел из предложенных цифр. Например:

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 2 и 9

Запишите все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 0, 3, 7. Если цифры в записи не повторяются.

№ 1

222, 229, 292, 299, 922, 929, 992, 999

№ 2

307, 370, 703, 730

 

Вы сегодня очень хорошо поработали, спасибо за урок. Я вам  приготовила сюрприз (свое солнышко).

 

 

1. Г. Д. Дорофеев «Математика, 5 класс», М: Просвещение, 2014 г.

2. Г. Д. Дорофеев «Математика, 6 класс», М: Просвещение, 2014 г.

3. Е. В. Смыкалова «Необычный урок математики. Книга для учителя. Сборник уроков математики», СПб, СМИО Пресс, 2007г.

Интернет-источники: http://smekalka.pp.ru/

 

 

1 часть. Тест

• В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какое из перечисленных событий является невозможным: А = «вынули 4 шара, и все они синие», В = «вынули 4 шара, и все они красные», С = «вынули 4 шара, и все они разных цветов».

Ответы:

А

В

С

 

• В коробке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какое из событий является достоверным: А = «вынули 4 шара, и все они красные», В = «вынули 3 шара, и все они разных цветов», С = «вынули несколько шаров, и среди них не было чёрного».

Ответы:

А

В

С

 

• Бросают игральный кубик. Какие события являются равновозможными (равновероятными) с событием А = «выпадет чётное количество очков», В = «выпадет тройка», С = «выпадет количество очков, меньшее 4», D = «выпадет количество очков, большее 4».

Ответы:

В

С

D

 

• В лотерее участвуют 50 билетов, и разыгрывается 1 приз. Вы купили 3 билета. Каковы ваши шансы на то, что вы останетесь ни с чем?

Ответ:

3/50

47/50

½

 

Андрей зашел в магазин, чтобы купить футболки. В магазине оказались футболки четырех цветов: белые, голубые, красные и черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки разного цвета?

Обозначьте цвета буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все вариан­ты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке:

Ответ: _______

 

 

 

1 часть Тест

• В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какое из перечисленных событий является невозможным: А = «вынули 4 шара, и все они синие», В = «вынули 4 шара, и все они красные», С = «вынули 4 шара, и все они разных цветов».

Ответы:

А

В

С

 

• В коробке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какое из событий является достоверным: А = «вынули 4 шара, и все они красные», В = «вынули 3 шара, и все они разных цветов», С = «вынули несколько шаров, и среди них не было чёрного».

Ответы:

А

В

С

 

• Бросают игральный кубик. Какие события являются равновозможными (равновероятными) с событием А = «выпадет чётное количество очков», В = «выпадет тройка», С = «выпадет количество очков, меньшее 4», D = «выпадет количество очков, большее 4».

Ответы:

В

С

D

 

• В лотерее участвуют 50 билетов, и разыгрывается 1 приз.  Вы купили 3 билета. Каковы ваши шансы на то, что вы останетесь ни с чем?

Ответ:

3/50

47/50

½

 

Ответ: 6

 

Ответ: _________