Методика работы с математическими понятиями в основной и средней школе

В связи с тем, что аттестация выпускников проходит в виде тестов  (ОГЭ и ЕГЭ), могут появиться мнения, что достаточно отработать некоторые навыки по вычислению и решению определённых задач, а на работу с математическими терминами и понятиями уделять меньше времени.  Конечно, такое мнение ошибочно. Естественно, если ученик владеет понятием, методикой решения, он может справиться с заданием любого уровня сложности.

Я в своей практике уделяю достаточное время на усвоение и закрепление понятий и терминов. Надо заметить, что в математике их значительно меньше, чем, например, в биологии, и с одними и теми же понятиями мы встречаемся неоднократно на протяжении всего курса математики. Очень важно на первом этапе сформировать представление об объекте, помочь ученику запомнить, организовать закрепление данного понятия и научить применению в следующих разделах математики и других науках.  К таким понятиям относятся, например, уравнение, прямоугольный треугольник, функция,  производная функции и  т. д.

В своей работе я остановлюсь на вопросах:

Виды определений математических понятий:

1. Конструктивные (генетические) показан способ конструирования объектов, принадлежащих данному понятию (окружность, биссектриса, осевая и центральная);
2. Через ближайший род и видовое отличие (ромб, параллелограмм, у которого все стороны равны);
3. Определение условное соглашение (используется в школьном курсе математики при расширении понятия числа);
4. Индуктивные (рекуррентные) – указываются базисные понятия некоторого класса и правила получения новых объектов этого же класса (арифметическая прогрессия);
5. Отрицательные (определение параллельных прямых);
6. Аксиоматические или косвенные (через систему аксиом: длина, площадь, объем).
7. Видовые отличия могут соединятся союзами:

- «и» — конъюнктивная структура;

- «или» — дизъюнктивная структура (неправильная дробь);

- «если…,то…» (функция называется возрастающей, если…).

8. Логико-дидактический анализ определения:

9. выделить термин;

10. род;

11. видовое отличие;

12. определить структуру.

Методика работы над определением предполагает:

1) знание определения;

2) обучение распознавания объекта, соответствующего данному определению;

3) построение различных  контрпримеров.

Изучение математических определений можно подразделить на три этапа:

1-й этап – введение – создание на уроке ситуации, когда учащиеся либо сами “открывают” новое, самостоятельно формируют для них определения, либо просто подготавливаются к их пониманию.

2-й этап – обеспечение усвоения – сводится к тому, чтобы школьники:

а) научились применять определение;

б) быстро и безошибочно запоминать их;

в) понимали каждое слово в их формулировках.

3-й этап – закрепление – осуществляется на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и обработке навыков применения к решению задач.

Ознакомление с новыми понятиями проводятся:

1 способ: учащиеся подготавливаются к самостоятельному формированию определения.

2 способ: учащиеся готовятся к сознательному восприятию, пониманию нового математического предложения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде.

3 способ: учитель сам формулирует новое определение без какой-либо подготовки, а затем сосредотачивает усилия учащихся на их усвоении и закреплении.

1 и 2 способ представляют эвристический метод, 3 способ – догматический. Использование любого из способов должно соответствовать уровню подготовленности класса и опыта учителя.

Знакомство (почему появилось, откуда и когда)

Заучивание (рекомендации как легче запомнить)

Проверка знаний (математический диктант, зачет)

Умение применения (решение задач, проекты и т.д.)

Фронтальная работа с классом;

Работа в группах, парах;

Зачёты с привлечением старшеклассников;

Мозговой штурм (при введении нового понятия или  при закреплении);

Проектная деятельность (опережающие или итоговые по теме; индивидуальные и групповые)

Расскажу на примере работы с понятием числа и его развитии:

Пятиклассники выполняют действия только с натуральными числами, на множестве которых выполняются не все действия. Нельзя вычесть пять из шести и невозможным является деление этих чисел, а жизненные ситуации требуют их исполнения. Результат – введение целых чисел, а затем рациональных.  До восьмого класса дети не догадываются, что есть и другие числа – иррациональные. Необходимость их введения опять обосновывается. И если далее идти по этой цепочке, то учащимся понятно введение нового действия – логарифмирования, поэтому они быстрее усваивают, что такое логарифм числа, им легко работать с этим определением и они осознанно выполняют действия с логарифмами.

В любой параллели в сентябре начинаю уроки с развития числа, радуемся, что, мы поднялись ещё на одну ступеньку и показываю, что по этой цепочке будут изучаться все основные блоки в курсе математики, а именно сначала вводится понятие степени с натуральным показателем, затем с целым и рациональным показателем. Впервые дети изучают уравнения линейные, потом квадратные, а далее дробные и иррациональные. По той же схеме знакомство с неравенствами и функциями. Обязательно даю исторические справки и авторство понятий и определений.

Приведу пример, как работаю с понятием «функция».

Впервые с этим понятием дети знакомятся в седьмом классе. Именно учитель на уроке даёт определение, что такое функция, самим учащимся это будет трудно сделать, хотя конечно подготовка к введению нового понятия проводится. Сообщаю, что в жизни мы часто встречаемся с зависимостями и с соответствиями, например: каждому человеку соответствует имя, возраст, рост и т д, каждой стране – президент, столица, разговорный язык. На конкретных примерах говорим о зависимых и независимых переменных величинах и далее строим математическую модель: каждому числу из одного множества ставится в соответствие число из другого множества по указанному правилу. Так, если каждому числу ставим в соответствие его квадрат, то говорят -  задана функция  = . Вводится понятие график функции.  Для закрепления и контроля использую работу в парах, математический диктант, «найди ошибку» и т.д.

Далее работа с этим понятием встречается в восьмом классе, уже  более широко, а именно,  рассматриваем  свойства функций: область определения, возрастание, убывание функций, симметричность и другие. Ученики знакомятся с квадратичной функцией, обратной пропорциональностью, кубической зависимостью, учатся строить графики этих функций. Не остаются без внимания понятия функция и свойства функций и в девятом, десятом   классах.  Практически все девятиклассники принимают участие в подготовке проектов « Графики функций, содержащих знак модуль», объединяясь в группы.

В старшей школе при введении понятия «производная функции», провожу «Мозговой штурм», вспоминаем всё, что связано с понятием функция (на доске появляется до пятнадцати терминов), и убеждаемся, что этого недостаточно, чтобы построить график предложенной им функции, и подвожу к необходимости новых сведений – введения нового понятия «производная функция». Дети видят, что поднимаемся на новую ступеньку, где будут выполняться действия уже не с числами, а действия над функциями.

Эта цепочка отлично показывает, как педагог заинтересован в выполнении всех звеньев этой цепи, и какие результаты может получить в конце проделанной работы.

Я много лет вела подготовительные курсы по математике на базе лесотехнического университета. Действительно было видно, что мои ученики лучше справлялись с заданиями на выделение натуральных, рациональных, действительных чисел.

Результаты итоговой аттестации показывают, что выпускники успешно выполняют задания с включением теории чисел и задания с функциями, их свойствами и графиками.

Более 30% учащихся, сдававших итоговую аттестацию, верно выполнили задание на понятие «функция» из второй части.

При анализе ЕГЭ всегда отмечается, что хуже всего дети решают геометрию и задания с функциями, мои же выпускники не испытывают особых затруднений со вторым вопросом. По данной теме работала моя педагогическая мастерская на уровне городского округа.

В 2014 году мои восьмиклассники успешно справились с заданием на линейную функцию (70,4% ) на областной контрольной работе.

Считаю работу над формированием понятий достаточно важной и ответственной, она является основой всего курса математики.