Факультативное занятие по математике 5 класс «Лист Мебиуса»

Вид занятия: лабораторная работа с элементами исследования.

Тип занятия: изучение нового.

Оборудование: образец ленты Мебиуса, цветные мелки, таблицы наблюдений экспериментов, клей, ножницы, фломастеры, цветная бумага.

Цели занятия: Образовательные: познакомить учащихся с листом Мебиуса, расширить знания обучающихся в области экспериментальной  математики.                                                                                         

Развивающие: развить навык самостоятельной работы при проведении исследования, умение выдвигать  гипотезу и сопоставлять ее с полученным результатом.

Воспитательные: воспитывать целеустремленность в достижении цели, прививать интерес к предмету, воспитывать коллективизм, взаимопомощь.

Предварительная подготовка: учащиеся разделяются на 4 групп.

Исследование – процесс получения новых знаний.
Гипотеза (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.
Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

Здравствуйте,ребята!
Сегодня, каждый из вас станет научным работником. Вы исследователи, а я ваш научный руководитель. Выберите в группах старшего научного сотрудника.
В нашу лабораторию поступил спец. заказ (показывается коробка, в которой находятся задания для групповой работы, достается лист и макет листа Мебиуса) на исследование удивительной поверхности под названием лист Мебиуса.
Что же такое лист Мебиуса? Как же он возник? Давайте проведем экскурс в историю.

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары… [1]

Лист Мебиуса.

Данную поверхность открыл Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус. Лист Мебиуса относится к числу “математических неожиданностей”. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в 1858 году Мебиус (1790-1868), ученик К. Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. В некотором смысле слово топология – это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами “предметов”, которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения. [2]

Дополнительный материал (для сообщения уч-ся)

Лента Мёбиуса была обнаружена немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом в 1858 г. Август Фердинанд Мёбиус – немецкий геометр, профессор Лейпцигского университета первой половины XIX века. До него считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны. Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону.
Говорят, что придумал свою ленту Август Фердинанд Мёбиус, когда наблюдал за горничной, которая надевала на шею шарф.
Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. А может быть, и еще где-нибудь. [3]

Чтобы понять, как нам проводить исследование данной поверхности давайте обратимся к словарю и выясним что такое исследование и эксперимент. (На доске вывешиваются определения понятий: исследование, эксперимент, гипотеза.
Во все времена человек большинство знаний добывал не путем рассуждений и догадок, а из собственного трудового опыта. Иногда человек специально проводит серию опытов, чтобы доказать, либо опровергнуть некоторую гипотезу – научное предположение. Такая работа называется – эксперимент

При выполнении этой работы нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

• Ножницы должны лежать на столе в закрытом виде;
• Передавать ножницы нужно кольцами вперед;
• При работе ножницы должны лежать с правой стороны;
•  Не использовать ножницы без разрешения учителя.   

Чтобы вам было более понятно, первый опыт я проведу вместе с вами.

Опыт №1 

Склеивание обыкновенного кольца.

Опыт №2

Как же получить лист Мебиуса?

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Получим такое перекрученное кольцо. Итак, мы склеили лист Мебиуса

И задаемся вопросом:

- Сколько сторон у обыкновенного кольца и у листа Мебиуса?

Опыт №3

Закрашивание обыкновенного кольца.

Этот опыт показывает, что кольцо имеет две стороны, то есть кольцо – это двухсторонняя поверхность.

Опыт №4

Как вы думаете, какой ответ можно дать на вопрос, если теперь мы будем закрашивать лист Мебиуса? (Ответы детей)
Выдвигается гипотеза

Мы определились с гипотезой. Теперь проведем опыт.

- Если начать проводить линию по листу Мебиуса с одной стороны, не отрывая карандаш от поверхности и не переходя через край, или закрашивать его, то какая часть листа Мебиуса окажется закрашенной?
Каков результат эксперимента? (Ответы детей)
Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей)

Дети проводят свои опыты. В ходе проведения опытов учитель выступает в роли  консультанта.)
(После звонка будильника.) Звонок прозвенел, эксперименты мы заканчиваем. Ножницы, обязательно, положите на стол, чтобы они вам больше не мешали.

Вы очень хорошо потрудились, устали и я предлагаю немного отдохнуть.
Встаньте.
Руками, широкими взмахами показать кольцо.
Лист Мебиуса в виде цифры 8. (руками и туловищем)
8 ногами по очереди очертить на полу.
Перекручивания листа Мебиуса (повороты)
Вдох, выдох. Садимся.

После проведения зарядки выступают докладчики. Отчеты обсуждаются, сдаются учителю.
Сейчас мы с вами приступаем к самой ответственной части нашего эксперимента – отчету. От каждой группы, по очереди, к кафедре подходит старший научный сотрудник с отчетами и результатами своих экспериментов.

Ответьте на следующие вопросы:
Во время проведения нашей работы мы использовали новые термины гипотеза и эксперимент. Что означают эти слова?
Сколько ответов из колонки гипотез совпало с ответами из колонки экспериментов?
Ребята, если ваша гипотеза не совпала с результатом эксперимента, не нужно прекращать заниматься научной работой. Ведь среди ученых существует правило, что отрицательный результат – это тоже результат. И твой труд не пропал напрасно.
Сколько сторон у листа Мебиуса?
Какие эксперименты подтверждают это свойство? (Эксперимент с раскрашиванием листа Мебиуса)

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Посмотрите, скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса.

Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой.  

Все группы работали отлично. (Среди групп выделяются лучшие и награждаются небольшими статуэтками в виде листа Мебиуса, ребятам этих групп присваиваются звания: профессор, магистр и бакалавр математических наук).
Поздравляю вас с успешным завершением исследования.

Показать родным эксперименты с листом Мебиуса. Составить реферат или презентацию « Что я знаю о листе Мебиуса?»

Подумайте над вопросом: как склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.

                                                  Дополнительный наглядный материал

1) Начертите прямоугольник АВСД длиной АВ—30см, шириной ВС—5 см

2) Вырезать его.

3) Склеить АД—СВ, так чтобы А—В,  С—Д

4) Получили….

1) Возьмите фломастер и проведите пунктирную линию вдоль кольца с внешней стороны.

2) Разрежьте кольцо вдоль пунктира.

3) вы получили …...

1) Повторить опыт №1—пукт 1) и 2)

2) Склеить А—С,  В—Д, т.е. перекрученное кольцо

3) Получили…..

1) Закрасьте одну сторону обыкновенного кольца

Получилось…..

2) Закрасьте одну сторону листа Мебиуса
Получилось……

Сделайте выводы. Гипотеза, опыт, эксперимент.

1. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г.
2. Там же
3. Там же