Цель:
целью данной исследовательской работы является изучение свойств чисел в таблице Пифагора.
Задачи:
Цель, поставленная нами, реализуется посредством решения ряда задач:
1. Провести социологический опрос среди учащихся школы на знание свойств таблицы Пифагора.
2. Подробно ознакомиться с наиболее яркими и применяемыми свойствами таблицы, доказав некоторые из них.
3. Изучить этапы биографии Пифагора и научные открытия, связанные с его школой.
1. Пифагорейцы не только изучали свойства уже известных чисел, но и определяли числа в дальнейшем названные как «фигурные», а именно: «треугольные», «пятиугольные», «пирамидальные», «квадратные» и т.д.Средневековые математики приписывали некоторым числам сверхъестественные свойства, единодушно настаивая на возможности их практического использования.
2. Известная каждому школьнику таблица Пифагора – один из многочисленных вариантов таблицы умножения.
Назовем квартетом 4 числа таблицы Пифагора, расположенные в вершинах некоторого квадрата. Если стороны квадрата параллельны сторонам таблицы Пифагора, то произведения диагональных чисел квартета равны. Если же стороны квадрата параллельны диагоналям таблицы Пифагора, то равны суммы диагональных чисел квартета. Доказательства этих свойств основаны на определении таблицы Пифагора и в данной работе доказаны мной.
3. Если квартет имеет центр, то его центральное число равно среднему арифметическому чисел квартета.
4. Не нарушая принципиального построения таблицы Пифагора, ее можно расширить вправо и вниз, соблюдая основное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит. В работе приведены свойства расширенной таблицы, повернутой на 450.
5. Группы чисел 1; 2, 4, 2; 3, 6, 9, 6, 3 и т.д. назовем 1-м, 2-м, 3-м и т.д. уголком. Сумма всех чисел n-го уголка равна n3.
6. Чтобы получить представление о том, как в таблице Пифагора расположены числа, дающие одинаковые остатки при делении, мною были раскрашены таблицы остатков от деления на 3 и на 5. Таблица Пифагора оказалась расчленённой на одинаковые по раскраске квадраты.
7. Соцопрос, проведённый среди учащихся нашей школы, показал: из 60 опрошенных на вопрос: «Знаете ли вы, что представляет собой таблица Пифагора?» 32 человека ответили, что это «таблица умножения», 9 – «что имя Пифагора им знакомо», 29 – ничего сказать не смогли.
На вопрос: «Знаете ли вы, какими свойствами обладают числа в таблице?» все опрашиваемые ответили, что «нет».
В данной работе мы показали степень знакомства с таблицей Пифагора.
Материал данной темы оказался столь обширным, что даёт возможность изучения новых свойств, не приводимых в данной работе.
Числа не управляют миром,
но показывают, как управляется мир.
Среди арифметических проблем особое место занимают вопросы, связанные с изучением и систематизацией свойств тех или иных чисел.
Возникнув в древней Индии и Вавилоне на базе практических задач, фигурные числа привлекли пристальное внимание пифагорейцев, которые увлекались числами, связанными с геометрическими образами.
Обширный исторический материал, расцвеченный увлекательными легендами и мифами, окутанный ореолом таинственности, привлекает каждого, кто хоть как-то коснулся теории чисел. Увидев воочию таблицу Пифагора, хочется все больше и больше рассмотреть свойства, записанных в ней чисел. Обучаясь математике только у классной доски, мы не привыкли замечать знакомые явления в окружающем нас мире вещей, пользоваться приобретенными знаниями на практике. При работе над данным материалом изучен огромный объем литературы, доказаны свойства чисел таблицы, используя знания, полученные на уроках и элективных курсах.
Цель: изучение свойств чисел в таблице Пифагора.
Задачи:
Цель, поставленная нами, реализуется посредством решения ряда задач:
1) Провести соцопрос среди учащихся нашей школы на знание свойств таблицы Пифагора.
2) Подробно ознакомится с наиболее яркими и применяемыми свойствами таблицы, доказав некоторые из них.
3) Изучить этапы биографии Пифагора и научные открытия, связанные с его школой.
Знакомая и незнакомая таблица Пифагора
Средневековые математики приписывали некоторым числам сверхъестественные свойства, единодушно настаивая на возможности их практического использования. Так, ибн Хальдун приводит в своем трактате руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити приводит следующий рецепт: «Чтобы добиться взаимности в любви. Нужно на чём-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому» (учёный добавляет, что действенность этого способа он проверял на себе).
Известная каждому школьнику таблица Пифагора – один из многочисленных вариантов таблицы умножения. Почему она носит имя Пифагора? Г.И.Глейзер в книге «История математики в школе.IV-VI классы» (с. 46) пишет по этому поводу: «Наиболее ранняя дошедшая до нас таблица умножения от 1x1 до 10x10 содержится в «Арифметике» греческого математика Никомаха из Геразы (I-II вв.). Она представлена в виде квадрата, где каждая сторона имеет одинаковый с ней столбец. Эта таблица передавалась от народа к народу, из поколения в поколения и поныне употребляется в наших школах. Знание ее всегда считалось необходимым для каждого ученика, в средние века она получила название Пифагоровой, хотя и была, наверно, известна задолго до Пифагора».
Таблица Пифагора обладает многими любопытными свойствами. Остановимся на некоторых из них.
Назовём квартетом четыре числа таблицы Пифагора, расположенные в вершинах некоторого квадрата. Если стороны квадрата параллельны сторонам таблицы Пифагора, то произведения диагональных чисел квартета равны. Если же стороны квадрата параллельны диагоналям таблицы Пифагора, то равны суммы диагональных чисел квартета. Доказательства этих свойств просты и основаны на определении таблицы Пифагора.
Если квартет имеет центр, то его центральное число равно среднему арифметическому чисел квартета. В самом деле, пусть квартет имеет центральное число, равное произведению натуральных чисел xy, тогда квартет состоит из чисел вида
(x+m) (y+n), (x+n) (y-m),
(x-n) (y+m), (x-m) (y-n),
где mиn – натуральные. Среднее арифметическое этих чисел – xy.
(y-n)(x-m) + (x+m)(y-n) + (y+n)(x-m) + (x+m)(y+n)
ху= ___________________________________________
4
Можно решить скучную на первый взгляд задачу: найти сумму всех чисел таблицы Пифагора.
Решение:
(1+2+3+…+9)+
+2 . (1+2+3+…+9)+
+3 . (1+2+3+…+9)+
. . . . . . . . . . . .
+9 . (1+2+3+…+9)=
=(1+2+3+…+9) (1+2+3+…+9)=452=2025
Не нарушая принципиального построения таблицы Пифагора, ее можно расширить вправо и вниз, соблюдая основное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит. На рисунке изображена верхняя часть расширенной таблицы Пифагора, повернутой на 45o. Естественно, ранее сформулированные свойства таблицы Пифагора остаются верными и для расширенной таблицы, поэтому в дальнейшем расширенную таблицу также будем называть таблицей Пифагора.
1
2 2
3 4 3
4 6 6 4
5 8 9 8 5
6 10 12 12 10 6
7 12 15 16 15 12 7
8 14 18 20 20 18 14 8
9 16 21 24 25 24 21 16 9
10 18 24 28 30 30 28 24 18 10
11 20 27 32 35 36 35 32 27 20 11
Рассмотрим колонки чисел, расположенные параллельно биссектрисе «числового угла». Каждой колонке присвоим номер, равный ее первому числу. В колонках с нечетными номерами стоят последовательности чисел, связанные с последовательностью квадратных чисел. А именно: если к каждому числу (2n+1)-й колонки прибавить n2, то получим последовательность квадратных чисел без n первых её членов.
В колонках с четными номерами находятся числовые последовательности, связанные с треугольными числами. Треугольными называют числа, показывающие из скольких кругов можно сложить треугольник: 1; 3; 6; 10; 15; 21; …,1/2n (n+1);
Группы чисел 1; 2, 2; 3, 4, 3; 4, 6, 6, 4; и т.д. назовем 1-й, 2-й, 3-й, 4-й и т.д. строкой таблицы Пифагора. Произведение чисел n-й строки равно (n!)2, потому что числа этой строки можно представить в таком виде:
1 . n, 2(n-1), 3(n-2),…(n-2) . 3, (n-1) . 2, n . 1,
а произведение этих чисел равно (n!)2. Заметим также, что n-ая строка состоит из чисел, которые можно разложить на два множителя, сумма которых n+1.
Сумма чисел n-ой строки таблицы Пифагора равна n-му тетраэдральному числу и может быть вычислена по формуле 1/6 n(n+1)(n+2) (тетраэдральными числами называют числа, показывающие, из скольких шаров можно сложить треугольную пирамиду).
Можно пойти еще дальше. Сумма всех чисел n первых строк таблицы равна n-му гипертетраэдральному числу 1/24 n x(n+1)(n+2)(n+3) (аналог треугольных чисел для пространства четырех измерений).
Отметим еще, что разность между суммами n-й и (n-1)-й строками таблицы равна n-му треугольному числу, а разность между суммами n-й и (n-2)-й строками равна n-му квадратному числу.
Покажем справедливость последнего факта: суммы n-й и (n-2)-й строк соответственно равны 1/6 n (n+1)(n+2) и 1/6 (n-2)(n-1)n, поэтому разность равна n2.
Аналогично задаче о сумме чисел таблицы Пифагора можно решить задачу о сумме всех чисел расширенной таблицы Пифагора, заключенных в квадрат со стороной n. Здесь нас снова ожидает встреча с треугольными числами. Оказывается, эта сумма равна (1/2 n (n+1) )2, а это квадрат n-го треугольного числа.
Группы чисел 1; 2, 4, 2; 3, 6, 9, 6, 3 и т.д. назовем 1-м, 2-м, 3-м и т.д. уголком. Сумма всех чисел n-го уголка равна разности между суммами чисел квадрата со стороной n и квадрата со стороной (n-1), поэтому сумма всех чисел n-го уголка равна
(1/2 n (n+1) )2 – (1/2(n-1)n)2= n3,
т.е. n-му кубическому числу.
Чтобы получить представление о том, как в таблице Пифагора расположены числа, дающие одинаковые остатки при делении, например, на 5, закрасим числа, дающие одинаковые остатки (0, 1, 2, 3, 4), соответственно одинаковым цветом. Таблица Пифагора окажется расчлененной на одинаковые по раскраске квадраты. Аналогичное разбиение получается при делении таблицы на любое другое число.
Если внимательно и терпеливо заняться изучением таблицы Пифагора, то, несомненно, можно отыскать новые, не менее интересные свойства этой древней числовой схемы.
Чтобы оценить степень своего знакомства с таблицей Пифагора, можно выполнить такие упражнения:
1. Доказать, что сумма чисел квартета, симметричного относительно «биссектрисы», есть квадратное число.
2. Найти формулу r-го члена n-й строки таблицы Пифагора.
3. Чему равно произведение всех чисел n-го уголка?
4. Доказать, что сумму двух соседних строк таблицы Пифагора можно представить в таком виде: 12+22+32+…+m2.
Заключение
В данной работе мы показали степень знакомства с таблицей Пифагора, и как на протяжении всех учебных лет знакомство это становилось все более тесным. В начальной школе – это таблица умножения, в 5 классе – среднее арифметическое чисел, после изучения арифметической прогрессии в 9 классе мы смогли вычислить сумму всех чисел в таблице Пифагора; узнав на элективных курсах о фигурных числах, в работе доказана связь между местом расположения числа в таблице и его свойством, а именно: в колонках с нечётными номерами стоят последовательности чисел, связанные с последовательностью квадратных чисел, в колонках с четными номерами находятся последовательности, связанные с треугольными числами. В работе доказана связь между центральным числом квартета и числами его образующими; найден способ нахождения суммы чисел n-го уголка; показано расцвечивание таблицы согласно соответствующим остаткам от деления на число 3 и число 5.
Работа по исследованию свойств чисел таблицы далека от завершения. Материал данной темы оказался столь обширным, что дает возможность изучения новых свойств не приводимых в данной работе, например, можно доказать тот факт, что сумма чисел квартета, симметричного относительно «биссектрис», есть квадратное число и многое др.
Соцопрос, проведенный среди учащихся нашей школы, показал: из 60 опрошенных на вопрос: «Знаете ли вы, что представляет собой таблица Пифагора?» 32 человека ответили, что это «таблица умножения», 9 – «что имя Пифагора им знакомо», 29 – ничего сказать не смогли.
На вопрос: «Знаете ли вы, какими свойствами обладают числа в таблице?» все опрашиваемые ответили, что «нет».
Биография Пифагора
По преданию, Пифагор – сын Мнесарха, самосец, родился около 580 г. до н. э. на острове Самос, вблизи ионийского побережья Малой Азии.
Первые познания он получил от своего отца, ювелира: в те времена эта профессия требовала многосторонней образованности. Есть указания, что его предки были сирийцами или финикиянами, и, может быть, еще в своей семье он приобщился к религиозной традиции Востока. Для тогдашней греческой молодежи посещение чужих стран было главным способом расширить запас знаний, и поэтому юность свою Пифагор провел в путешествиях.
Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор посещал Египет и Вавилон.
В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Сейчас известно, что эта теорема была известна до него, но именно Пифагор первым доказал ее.
Ему было лет тридцать, когда он приехал в Египет и там познакомился с древней мудростью жрецов: медициной, математикой и метеорологией. Говорят, что при вторжении персов в Египет Пифагор был захвачен в плен и отвезен в Вавилон. Существует легенда, будто в то время он встретился с иранским пророком Заратустрой и даже побывал в Индии. Но, по мнению большинства историков, эти сведения (записанные, кстати сказать, много веков спустя после смерти мудреца) являются скорее романом, чем историей. Наиболее достоверными можно признать указания на поездки Пифагора в Вавилон и особенно Египет, с которыми греки в то время имели тесные отношения. Вполне понятно, что религии этих стран должны были произвести большое впечатление на «любителя мудрости» и дать богатую пищу его воображению и мысли.
Вернувшись на Самос, Пифагор нашел родину в руках диктатора Поликрата, который упрочил свою власть, опираясь на союз с персами. Поначалу могло показаться, что остров расцвел после трудных лет политических переворотов. Поликрат, сам выходец из торговой среды, поощрял ремесла и искусства. Повсюду сооружались обширные постройки, поражавшие своим великолепием. При дворе правителя находили приют выдающиеся поэты и художники. Но Пифагор быстро понял цену этой золотой клетки. Опека властей оказалась тяжким бременем для свободы мысли.
По словам Порфирия, философ «видел, что тирания слишком сильна, чтобы свободному человеку можно было доблестно переносить надзор и деспотизм». Пифагор проникся отвращением к самосскому режиму и задумал навсегда покинуть отечество. «Ненавидя душой тиранию, сам он изгнанье избрал»,— говорил Овидий, читавший одну из древних биографий философа. О подробностях этого переселения (или изгнания?) ничего не известно…
Мы знаем лишь, что в 540 г. Пифагор сел на корабль, отплывавший в Италию, и через некоторое время прибыл в город Кротон. Сюда, в богатый торговый порт у берегов Тарентского залива, в так называемую «Великую Грецию», стремились многие путешественники, купцы и мастера. В этом царстве колонистов общая атмосфера была намного свободнее, чем на Самосе.
Пропаганда учения Пифагора обеспокоила власть имущих...
Заговор возглавил богатый и знатный житель Кротона Килон, властолюбивый и обладающий тяжелым нравом. Спасаясь от преследователей, Пифагор поселился в Метапоне. Но и здесь его настигла рука убийцы.
Школа Пифагора
Популярность Пифагора в Кротоне объясняется незаурядными личными качествами философа, его умением увлечь за собой людей. Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов, притягивала к нему единомышленников. Именно талант политического оратора и религиозного проповедника принесли Пифагору успех. Недаром слово “Пифагор” означает “убеждающий речью”.
Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел". Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. Этот закон имел негативное влияние, поскольку помешал учению стать составной частью культуры.
Пифагорейцы просыпались с рассветом, пели песни, аккомпанируя себе на лире, потом делали гимнастику, занимались теорией музыки, философией, математикой, астрономией и другими науками. Часто занятия проводились на открытом воздухе, в форме бесед. Среди первых учеников школы было и несколько женщин, включая и Теано – жену Пифагора.
Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания. Каждый человек должен следовать правилу: беги от всякой хитрости, отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы - роскошество, от города – смуту, от семьи - ссору. Вещей, к которым стоит стремиться и которых следует добиваться, есть на свете три: во-первых, прекрасное и славное, во- вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющие наслаждение. Но наслаждение имеется ввиду не пошлое и обманчивое, не утоляющее роскошествами наше чревоугодие и сладострастие, а другое, направленное на прекрасное, праведное и необходимое для жизни.
Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в моральный кодекс пифагорейцев - “Золотые стихи”. Они переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории.
С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии. Пифагорейская философия содержала принципы, научные достижения, взгляды на воспитание человека, социально-политические идеи. Пифагоризм определил число как принцип, придав научному объекту универсальное значение (прием, использованный позже и другими философиями). Такое преклонение перед числом объясняется теми наблюдениями, которые проводились в пифагорейском союзе над явлениями окружающей жизни, но оно сопровождалось мистическими измышлениями, зачатки которых были заимствованы вместе с началами математических знаний из стран Ближнего Востока.
Слава Пифагора далеко опережала его. И даже после его смерти она продолжала распространяться. Ни с Средние века, ни в Эпоху Возрождения его не забывали. Наглядным свидетельством этому служит то, что, по мнению многих ученых, он изображен на фреске Рафаэля Санти, который, по моему мнению, не нуждается в представлении, дважды с противоположных сторон. Его изображения отмечаются на иллюстрации при подведении мыши.
Научные открытия школы
Вследствие того, что пифагорейцы придавали числу такое огромное значение, в школе уделялось много внимания изучению чисел, то есть было положено начало теории чисел. Однако здесь, как и во всей Греции тех времен, практика вычислений считалась недостойным занятием для философских школ; ее предоставляли людям "низшим" в их житейских и деловых отношениях и называли "логистикой".
Пифагор говорил, что он поставил арифметику "выше потребности торговли". Поэтому в школе Пифагора изучались лишь свойства чисел, а не практический счет. Число для пифагорейцев – это собрание единиц, то есть только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических тел, получая ряды "треугольных", "квадратных", "пятиугольных" и других "фигурных" чисел. Каждый такой ряд представляет последовательные суммы арифметической прогрессии с разностями 1, 2, 3 и т.д.
На рисунке изображены "треугольные" числа" 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10; общее выражение этих чисел:
1 + 3 + 5 + ... + n = (n(n + 1))/2
На этом рисунке показаны "квадратные" числа: 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9; общее выражение этих чисел:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2. (Наше выражение "квадрат" для числа n2 является пережитком пифагорейской терминологии).
"Пятиугольные" числа 1, 1 + 4 = 5, 1 + 4 + 7 = 12, показанные на рисунке, имеют общее выражение:
1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = (n(3n - 1))/2
Пифагорейцы определили также "кубические" числа: 1, 8, 27, ... ; "пирамидальные" числа – суммы "треугольных" чисел и т.д.
Из выше описанного ясно, что основой математики пифагорейцев было понятие числа. Геометрическим образам отводилась вспомогательная, второстепенная роль. Пифагорейцы рассматривали только натуральные числа и четыре действия на множестве натуральных чисел: сложение, вычитание, умножение и деление. Числа пифагорейцы рассматривали как абстрактные математические объекты, лишенные признаков принадлежности к материальному миру.
В школе Пифагора также были подробно изучены так называемые Пифагоровы тройки натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство:
a2 + b2 = c2 ( a,b,c - натуральные числа)
Таковы, например, числа 3, 4, 5.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:
a = 2n+1
b = 2n(n+1)
c = 2n2 + 2n, где n - натуральное число
В те времена считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить пифагоровыми числами. Однако уже пифагорейцами было доказано, что это не так. Действительно, при a=b=1 гипотенузу нельзя выразить ни целым, ни дробным числом. Этот факт послужил толчком к открытию иррациональных чисел, являющихся основой современной математики. Можно предположить, что это и послужило толчком к выводу доказательства той самой теоремы, которой было присвоено имя Пифагора.
Пифагорейцы вывели много других теорем в геометрии. Среди них: теорема о сумме внутренних углов треугольника, построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них, геометрические способы решения квадратных уравнений, деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел, создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
Литература:
1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. «За страницами учебника математики», Москва, «Просвещение», 1996.
2. Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. «Педагогика». 1995.
3. Перельман Я.И. «Живая математика», Москва, 1999.
4. «Математика в школе» №1, 1998, № 8, 2007.