Урок по теме: Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1

I. Повторение по теме “Уравнения”.

• Что называется уравнением?
• Что означает решить уравнение?
• Что называется корнем уравнения?
• При каких операциях в ходе решения уравнения могут появиться посторонние корни?
• А когда может произойти потеря корней?

II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.

Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.

III. Ход работы.

 Решение тригонометрических уравнений является обязательным заданием для сдачи ЕГЭ, сегодня мы повторим изученный материал по теме «Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1».

На сегодняшнем уроке повторим 3 способа решения этого уравнения

• Введение вспомогательного угла.
• С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
• Сведение к однородному уравнению.

Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).

По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.

• Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим два приёма:

Приём 1:

Разделим обе части уравнения на :

Приём 2:

Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.

применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:

Подпишите листочки.

1. Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
2. Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
3. Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
4. Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.

• С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.

(1)

Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.

При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.

Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения, поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.

Проверка:

sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1

0 + ( - 1 ) = 1

-1 1.

Следовательно, x = + 2n, n Z.

Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:

• Сведение к однородному уравнению.

Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?

Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.

Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.

2sinx/2*cosx/2 + cos ² x/2- sin²x/2 = sin²x/2 + cos²x/2 (2)

Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

2sinx/2*cosx/2 + cos ² x/2- sin²x/2 = sin²x/2 + cos²x/2,

2sinx/2*cosx/2 + cos ² x/2- sin²x/2 - sin²x/2 - cos²x/2 = 0

sinx/2*cosx/2 - sin²x/2 = 0

Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.

Приём 1.

Разделим обе части уравнения на cos ² x/2, т.к. cos ² x/2 0

Ответ: {2n; /2 + 2k}, где n, k Z

Приём 2.

Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:

sinx/2*cosx/2 - sin²x/2 = 0,

sinx/2*(cosx/2 - sinx/2) = 0,

a) sinx/2 = 0,

x = 2n, n Z;

b) cosx/2 – sinx/2 = 0

1 - tgx/2 = 0

x = /2 + 2k, k Z.

Ответ : {2n; /2 + 2k}, где n, k Z.

IV. Работа в группах. Решить С-1, отчёт оформить на доске (желательно задания подобрать так, чтобы учащиеся могли показать различные способы решения, или указать способ решения уравнения)

V. Домашнее задание: Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение из заданий ЕГЭ С-1.