Войти / Зарегистрироваться

Конспект лекции "Основы математических знаний"

Получить свидетельство
Автор: Разбегаев Павел Витальевич

Цель лекции: познакомить обучаемых с использованием математических методов в судебно-экспертной деятельности органов внутренних дел.

Учебные вопросы:

Введение

1. Аксиоматический метод построения математических знаний.

2. Элементы математического анализа.

3. Основы математической логики, теории множеств и комбинаторики.

Время – 2 часа

Список используемой литературы

Основная литература

  1. Информатика и математика для юристов : учеб. пособие / под ред. С. Я. Казанцева, Х. А. Адриашина. - Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2015. - 464 с. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115161 (дата обращения: 20.01.2024). - Режим доступа: для зарегистрир. пользователей. - ISBN 978-5-238-00928-5. - Текст : электронный.
  2. Математика : курс лекций. Ч. 1 : Элементы общей алгебры / Е. В. Михайленко ; Краснодар. ун-т М-ва внутренних дел Рос. Федерации. - Краснодар : КрУ МВД России, 2019. - 120 с. - URL: http://va-mvd.ru/MegaPro/Web (дата обращения: 20.01.2024). - ISBN 978-5-9266-1506-4 . - Текст : электронный.
  3. Михайленко Е. В. Математика : курс лекций. Ч. 3 : Математический анализ / Е. В. Михайленко ; Краснодар. ун-т М-ва внутренних дел Рос. Федерации. - Краснодар : КрУ МВД России, 2020. - 90 с. - URL: http://va-mvd.ru/MegaPro/Web (дата обращения: 20.01.2024). - ISBN 978-5-9266-1615-3. - Текст : электронный.
 
Дополнительная литература

  1. Математика. Методы интегрирования. Дифференциальные уравнения : учеб.-практ. пособие / О. Ю. Бубнова, Н. В. Исаенкова, С. В. Крыгин [и др.] ; Нижегород. акад. М-ва внутренних дел Рос. Федерации. - Нижний Новгород : НА МВД России, 2019. - 87 с. - URL: http://va-mvd.ru/MegaPro/Web (дата обращения: 20.01.2024). - ISBN . - Текст : электронный.
  2. Математические методы в судебно-экспертных исследованиях : учеб. пособие / авт. коллектив: В. Г. Булгаков, А. А. Курин, Е. В. Булгакова, В. Н. Чулахов ; Москов. ун-т М-ва внутренних дел Рос. Федерации. - Москва : МосУ МВД России, 2019. - 144 с. - URL: http://va-mvd.ru/MegaPro/Web (дата обращения: 20.01.2024). - ISBN 978-5-9694-0746-6. - Текст : электронный.
  3. Статистическая обработка данных с помощью электронных таблиц (учебное пособие): учебное пособие. /Под ред. Н.В. Ходяковой. – Волгоград: ВА МВД России, 2014. – 96 с.

Введение

За последние годы довольно существенно изменился характер преступности. Причины этих изменений необходимо изучать, уметь предвидеть, прогнозировать возможное развитие криминологических процессов, чтобы наиболее рационально осуществлять борьбу с преступностью. Поэтому разработка научно обоснованных методик, позволяющих повысить эффективность деятельности правоохранительных органов в сфере борьбы с преступностью, в современной обстановке приобретает особую актуальность. Добиться этого можно, только используя все современные достижения науки и техники, новые подходы или, как принято сейчас говорить, новые информационные технологии.
 
Учебный вопрос № 1. Аксиоматический метод построения математических знаний

В математике и других науках с давних пор широко используются так называемые аксиоматические методы построения и получения знаний в той или другой предметной области. Суть их состоит в том, что при изложении некоторой теории в самом начале формулируется ряд утверждений, называемых аксиомами, истинность которых не вызывает сомнений и не требует доказательств (например, “правонарушитель должен быть привлечен к ответственности”).
Аксиомы возникают из опыта в той или иной предметной области и должны рассматриваться в совокупности, когда ни одно отдельно взятое свойство не является аксиомой,  если оно может быть доказано на основании других свойств. Аксиомы должны быть достаточно простыми, не сводимыми далее к еще более простым понятиям. И только после того, как набирается достаточно фактов, на основе которых могут быть объяснены другие, формируется аксиоматический подход. 
Основоположником аксиом, существующих более 2000 лет, является Евклид. На основании аксиом им построена геометрия, в которой четкие логические заключения изучаемых фактов базируются на аксиомах и показана прямая связь теоретических выводов с практикой. В качестве примеров приведем некоторые аксиоматические понятия из геометрии Евклида:
- через любые две точки можно провести прямую, и только одну;
- через любые три точки можно провести плоскость, и только одну;
- параллельные прямые не пересекаются;
- и др.


Учебный вопрос № 2. Элементы математического анализа

Определение функции
Функцией некоторой переменной уот некоторой переменной x называется определенное математическое правилоf, устанавливающее однозначное соответствие между переменной уи переменной x.
Математическая запись функции имеет вид: y=f(x). 
Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную у называют зависимой переменной или значением функции.
Все возможные значения, которые может принимать независимая переменная x, называются областью определения функции.
Все возможные значения, которые может принимать функция f(x), называются областью значений функции.
Функция y=f(x) называется четной, если для любого значения xиз области определения функции выполняется равенство
f(x) = f(-x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого значения xиз области определения функции выполняется равенство
f(x)= -f(-x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Производная функции
Производной y´=f´(x) функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции dy=f(x+dx)-f(x) к приращению аргумента dx при dx→0, т.е.

если указанный предел существует.
Как следует из данного определения, нахождение производных базируется на технике вычисления пределов.
Пример. Найти производную функции y=x2.
Решение. dy=(x+dx)2-x2=x2+2xdx+dx2-x2=2xdx+dx2.  


Таким образом, производная функции y=x2равна y’=2x.
По такому же правилу можно получить следующие выражения для производных основных математических функций (Таблица 1):
Таблица 1
Производные основных математических функций
Производная суммы, произведения, частного
Если функции u(x) иv(x) дифференцируемы в точке x, то производные суммы, произведения и частного этих функций в точке x находятся по следующим правилам (Таблица 2):
Таблица 2
Правила нахождения производных
Производная сложной функции
Если y=f(u), u=u(x), где функции  f(u) и u(x) имеют производные, то
 y’=f’(u)u’(x).
 
Пример. Составить сложную функцию y=f(u)=u2, если u=u(x)=sin(x) и найти ее производную.
Решение. y= u2= (sin(x))2.
y’=f’(u)u’(x)=( u2)’ u’(x)=2usin’(x)=2sin(x)cos(x).

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенным дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимую переменную, функцию от нее и производную (или дифференциалы) этой функции.
Таким образом, признаком дифференциального уравнения является обязательное наличие кроме независимой переменной и ее функции производной этой функции или приращений функции и независимой переменной.


Учебный вопрос № 3. Основы математической логики, теории множеств и комбинаторики

Основы математической логики
Понятие логического высказывания.
В математической логике основополагающая роль отводится логическому высказыванию.
Под логическим высказыванием понимают всякое утверждение, выраженное в словесной или символьной форме, о котором имеет смысл однозначно говорить, что оно истинно или ложно.
Одновременно истинным и ложным логическое высказывание быть не может.
Следует отметить, что не всякий (даже осмысленный) набор слов или символов является высказыванием.
Для формального обозначения высказываний в теории математической логики обычно используют индексированные и неиндексированные буквы латинского алфавита, справа от которых после знака равенства записывают текст самого высказывания в фигурных скобках. Например,
x1 = {2 > 1};
D = {Первые компьютеры созданы при Петре I}.
В математической логике истинность логического высказывания условно принято обозначать цифрой 1, ложность – цифрой 0, т.е. высказывание рассматривается как некоторая переменная величина, имеющая два указанных возможных значения (так называемая двоичная переменная).
Основные логические операции.
Рассмотренные выше высказывания являются примерами простых и представляют собой двоичные переменные, принимающие одно из двух возможных значений: 0 или 1.
На практике имеют место гораздо более сложные логические высказывания, которые образуются из нескольких простых при помощи так называемых логических операций.
Пустьx, x1, x2 – двоичные переменные, соответствующие некоторым простым высказываниям. Рассмотрим следующие логические операции (Таблица 3):
Таблица 3
Таблица истинности основных логических операций
Логические операции, также как и двоичные переменные, могут принимать только одно из двух возможных значений 0 или 1 в зависимости от значений входящих в них переменных. Поэтому их часто также называют логическими функциями. Приведенные логические операции определяются следующим образом.
Инверсией (функцией НЕ) переменной x называется такая логическая функция, которая имеет значение 1, когда x=0 и значение 0, когдаx=1.
Дизъюнкцией x1+x2 (функцией ИЛИ) двух (или любого другого числа) двоичных переменных x1, x2 называется логическая функция, которая принимает значение 0 только, когда значения всех переменных равны 0. Во всех других возможных случаях дизъюнкция равна 1.
Конъюнкцией x1∙x2 (функцией И) двух (или любого другого числа) двоичных переменных x1, x2 называется логическая функция, которая принимает значение 1 только, когда значения всех переменных равны 1. Во всех других возможных случаях конъюнкция равна 0.
Функции НЕ, ИЛИ, И называются основными логическими функциями.
В математической логике доказывается, что система логических функций НЕ, ИЛИ, И является функционально полной, т.е. с ее помощью можно задать любую другую логическую функцию на конечном числе двоичных переменных.
Практически наиболее важными из таких функций являются (Таблица 4):
Таблица 4
Таблица истинности логических функций (импликация, эквивалентность)
Импликация x1 → x2 принимает значение 0 только тогда, когда x1 =1, аx2=0.
Эквивалентность x1 ~ x2 принимает значение 1 только в тех случаях, когда обе переменные имеют одинаковые значения.
Таким образом, все рассмотренные элементарные логические операции над высказываниями можно определить следующей общей таблицей, которую часто называют таблицей истинности (Таблица 5):
Таблица 5
Таблица истинности элементарных логических операций
 
 
Основы теории множеств
Определение и обозначение множества. Основоположником теории множеств считается немецкий математик и философ Кантор, который дал следующее определение множества:
“Под множеством мы подразумеваем объединение в целое определенных, различающихся между собой объектов нашего представления и мышления”.
Практический интерес представляют такие множества, которые состоят из элементов (объектов), имеющих некоторые общие характерные свойства.
Чтобы понятие множества имело место, оно, прежде всего, должно быть правильно (корректно) задано.
Существует несколько способов задания множеств, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки и предпочтителен в той или иной ситуации.
В математике множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами, а элементы множества – строчными символами.
В простейшем случае множество можно задавать путем перечисления всех его элементов. При таком способе задания элементы множества отделяются друг от друга запятыми, а весь список элементов заключается в фигурные скобки. Например,
A = {1, 3, 5};
B = {понедельник, среда, пятница}.
Таким способом можно задавать конечные множества, содержащие, как правило, небольшое число элементов. Но такая форма записи не совсем удобна (громоздка) или вообще непригодна, когда множество содержит большое или даже бесконечное число элементов.
В этом случае используется более компактная (не зависимо от количества элементов) запись множества на основе указания характеристического свойства (признака), позволяющего для любого объекта выяснить – является ли он элементом данного множества или нет. Такая запись обычно имеет следующий вид:
и читается так: X является множеством всех элементов x, которые удовлетворяют определенному свойству φ(x), например: X={x:x – участник соревнования} – множество спортсменов, участвующих в некотором соревновании;
Основные операции над множествами.
Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов множества A и всех элементов множества B. Обозначают это следующим образом:
Например, объединением множеств A={0,1,4,5} и B={1,2,3,4} будет множество
Так, например, объединением множества всех курсантов-юношей и множества всех курсантов-девушек Волгоградской академии МВД России, будет множество всех курсантов академии.
Объединением множества всех положительных четных и нечетных чисел является множество натуральных чисел N.
Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, таки множеству B (т.е. общих элементов). Обозначают это следующим образом:
Если множества A и B не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество, обозначаемое символом Æ:
Например, пересечением множеств A={0,1,4,5} и B={1,2,3,4} будет множество
Так, например, пересечением множества всех курсантов Волгоградской академии МВД России и множества членов научного кружка информатики и математики есть множество курсантов, являющихся членами данного кружка.
Разностью двух множеств Aи B называется множество C, состоящее из тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Обозначают это следующим образом:
Например, разностью множеств A={0,1,4,5} и B={1,2,3,4} будет множество
Так, например, если A – множество всех курсантов 1-го курса, а B – множество всех курсантов, имеющих спортивный разряд, тоA\B – множество всех первокурсников, не имеющих спортивного разряда.
Если два множества Aи B содержат соответственно n(A) и n(B) количество элементов, то их объединение и разность включают соответственно
элементов, где  – количество общих (в пересечении множеств) элементов.
Элементы комбинаторики
Комбинаторика является областью математики, тесно связанной теорией множеств и изучающей вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным правилам, можно составить из множества заданных объектов.
Комбинаторные задачи отличаются достаточно большим многообразием, но в большинстве случаев они решаются с помощью двух основных правил – правила сложения и правила умножения.

Общие правила комбинаторики
Правило сложения. Если некоторый элемент A можно выбрать n способами, а другой элемент B можно выбратьmспособами, то выбор Aили B можно осуществить n+m способами.
Например, сколькими способами можно выбрать одну гласную или одну согласную буквы в слове “информатика”? Как мы видим, в этом слове n=5 гласных и m=6 согласных букв. Следовательно, количество способов выбора в данном случае n+m=11.
Правило умножения. Если некоторый элемент A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора элемент B можно выбратьmспособами, то выбор пары (A,B) можно осуществить n·m способами.
Например, сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0123456789? Очевидно, что первую и вторую цифру можно выбрать n=m=10 способами. Следовательно, количество способов выбора в данном случае n·m=100.
Например, сколькими способами можно подписаться на одну газету и один журнал, если для подписки выделено 7 названий газет и 9 названий журналов? Число способов здесь 7·9=63.

Размещения, перестановки, сочетания
Классическими задачами комбинаторики являются нахождение числа размещений, перестановок и сочетаний.
Пусть имеется некоторое множество, состоящее из n различных элементов.
Размещением из множества n элементов по m элементов называется некоторая совокупность (или подмножество) m (0≤m≤n) элементов из этих n, выбранных в определенном порядке.
В зависимости от порядка выбора элементов различают размещения с повторениями и размещения без повторений.Если допускается выбор одинаковых элементов, то такие размещения называют размещениями с повторениями. Общее количество таких размещений на основании правила умножения находится по формуле:
Ānm=nm. 
Если все элементы в размещении различны, то такие размещения называют размещениями без повторений. Общее число таких размещений обозначают Anm и находят, рассуждая следующим образом. На первое место можно выбрать один из n элементов. Т.к. элементы не повторяются, то после этого на второе место остаются n-1 элементов, на третье n-2 элементов и т.д. На последнее m-е место останется n-m+1 элемент. Применяя правило умножения, получаем
Anm=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1).
Эту формулу можно записать иначе, умножив и поделив на 1·2·…·(n-m):
В числителе получилось произведение всех чисел от 1 до n. Такие произведения часто встречаются в комбинаторике. Их называют факториалами и обозначают n! (читается n факториал). Таким образом, можно записать: 
Перестановкой называется частный случай размещения при n=m. Любая перестановка содержит все nэлементов исходного множества, а различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Общее число перестановок из n элементов обозначают Pnи вычисляют по формуле: 
Pn=n!. 
Сочетанием из множества n элементов по m элементов называется некоторая совокупность (или подмножество) m (0≤m≤n) различных элементов из этих n, отличающаяся от других только составом элементов. В сочетаниях не допускается повторения и не учитывается порядок следования элементов. Число сочетаний, которые можно составить из n элементов по m, обозначается Cnm и вычисляется по формуле:
Скачать публикацию

Похожие публикации