План.
1. Аксиоматический метод построения математических знаний.
2. Элементы математического анализа.
3. Основы математической логики, теории множеств и комбинаторики.
1. Аксиоматический метод построения математических знаний.
В математике и других науках с давних пор широко используются так называемые аксиоматические методы построения и получения знаний в той или другой предметной области. Суть их состоит в том, что при изложении некоторой теории в самом начале формулируется ряд утверждений, называемых аксиомами, истинность которых не вызывает сомнений и не требует доказательств (например, “правонарушитель должен быть привлечен к ответственности”).
Аксиомы возникают из опыта в той или иной предметной области и должны рассматриваться в совокупности, когда ни одно отдельно взятое свойство не является аксиомой, если оно может быть доказано на основании других свойств. Аксиомы должны быть достаточно простыми, не сводимыми далее к еще более простым понятиям. И только после того, как набирается достаточно фактов, на основе которых могут быть объяснены другие, формируется аксиоматический подход.
Основоположником аксиом, существующих более 2000 лет, является Евклид. На основании аксиом им построена геометрия, в которой четкие логические заключения изучаемых фактов базируются на аксиомах и показана прямая связь теоретических выводов с практикой. В качестве примеров приведем некоторые аксиоматические понятия из геометрии Евклида:
- через любые две точки можно провести прямую, и только одну;
- через любые три точки можно провести плоскость, и только одну;
- на плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну, и только одну прямую, параллельную данной прямой;
- параллельные прямые не пересекаются и др.
2. Элементы математического анализа.
Определение функции
Функцией некоторой переменной у от некоторой переменной x называется определенное математическое правилоf, устанавливающее однозначное соответствие между переменной у и переменной x.
Математическая запись функции имеет вид: y=f(x).
Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную у называют зависимой переменной или значением функции.
Все возможные значения, которые может принимать независимая переменная x, называются областью определения функции.
Все возможные значения, которые может принимать функция f(x), называются областью значений функции.
Функция y=f(x) называется четной, если для любого значения xиз области определения функции выполняется равенство
f(x) = f(-x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого значения xиз области определения функции выполняется равенство
f(x)= -f(-x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Производная функции
(см. файл ниже)
(см. файл ниже)