Научи и научись сам

Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений. Л. Толстой

Любому человеку необходимо быть эффективным, конкурентоспособным, творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникабельным, способным решать проблемы личные и коллектива. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию.

Все эти качества можно успешно формировать в школе, используя компетентностный подход в обучении любому предмету, в том числе и математике, что является одним из личностных и социальных смыслов образования.

Психологические особенности обучающихся обуславливают их особый интерес к различным формам математического образования, реализуемого именно в рамках школы. Поэтому необходимо как можно эффективнее использовать его возможности. Дополнительное математическое образование в школе может быть обеспечено различными формами внеклассной работы. Однако «...внеклассное мероприятие будет малоэффективным, если будет носить случайный характер, а не вытекать из определенной разработанной системы внеклассных мероприятий, направленных на развитие творческой деятельности учащихся» [1]. В этой связи речь пойдёт о построении методической системы.

На сегодняшний день актуальна проблема поиска средств развития мыслительных способностей, связанных с творческой деятельностью обучающихся как в коллективной, так и в индивидуальной форме обучения.

Данная система направлена на предоставление возможности попробовать себя и оценить свои силы с точки зрения перспективы дальнейшего изучения математики не только в старшей школе, но и в высших учебных заведениях.

Необходимость определяется общей задачей оптимизации учебного процесса в условиях школы. Однообразность какой-либо работы снижает интерес к ней. Поэтому сегодня становится необходимым обучить обучающихся современным технологиям. Для этого на занятиях рекомендуется использовать активные формы работы.

Содержание курса составляют разнообразные задачи, имеющие жизненно-практическую ценность, что положительно скажется на понимании обучающимися прикладного характера знаний по математике, поскольку математика проникла практически во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности. Это предполагает определённый стиль мышления, вырабатываемый математикой. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений.

Таким образом, обучение математике – это, в итоге, обучение решению задач различного характера.

Основными целями изучения математики в школе являются развитие логического мышления, способности к умственному эксперименту, к преодолению мыслительных стереотипов [2].

В каком возрасте целесообразней начинать изучение методов решения нестандартных задач. Устойчивый интерес к математике, согласно исследованиям психологов, начинает формироваться у школьников в 13–15 летнем возрасте. И к этому времени уже должна быть подготовлена соответствующая почва, т.е. обучающийся должен уже почувствовать, что размышление над трудными, нестандартными задачами, и, в конечном счете, нахождение решения – может доставить истинную радость.

Как, в рамках школьной программы, найти время на решение задач такого рода? Как обучать решению нестандартных задач?

Ответ на эти вопросы составляет важнейшую часть курса методики преподавания математики, и требует к себе поистине творческого отношения [3].

Нестандартные задачи могут успешно применяться в качестве дополнительных индивидуальных заданий для обучающихся, быстро справляющихся с основными заданиями во время контрольной или самостоятельной работы на уроке, в качестве домашних заданий. Нестандартные задачи можно использовать в рамках внеклассной работы по математике.

Если работу по формированию логических умений и навыков, необходимых в любой интеллектуальной деятельности обучаемых проводить систематически не только на уроках, но и во внеурочной работе, то можно наблюдать повышение интеллектуально-творческого потенциала обучающихся, повышение мотивации к обучению, благоприятного развития ситуации успеха.

Решение нестандартных математических задач способствует формированию и развитию логического мышления через образовательную область «математика»: учит обобщать математический материал, логически рассуждать, обоснованно делать выводы, доказывать, развивать гибкость мышления.

Эти задачи повышают интерес к знаниям, воспитывают пытливость мысли и увлечённость детей. Отражают оригинальность мышления и развивают творческие способности учащихся. Кроме того, решение нестандартных задач способно привить интерес ребенка к изучению «классической» математики, показать свои индивидуальные способности и реализовать свои способности в коллективе [4].

В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н. Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс. Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивные задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу [5].

Как показывают различные исследования, обучающиеся теряются, столкнувшись с нестандартными задачами, что нередко приводит к отказу от попыток решить задачу.

Педагогический опыт свидетельствует, что эффективно организованная учебная деятельность обучающихся в процессе решения нестандартных задач является важнейшим средством формирования математической культуры. Если систематически и целенаправленно использовать нестандартные задачи в процессе обучения, то они могут быть эффективным средством развития творческих способностей.

В своей работе мы столкнулись с противоречием: с одной стороны, необходимо обучить ребят решению нестандартных задач, с другой стороны многочисленные данные свидетельствуют о том, что вопросу формирования умения решать такие задачи не уделяется должного внимания. Для решения проблемы мы поставили перед собой следующие задачи:

- Изучить и проанализировать состояние проблемы развития творческих способностей в педагогической теории и практике.

- Разработать и реализовать систему творческих заданий, ориентированную на развитие творческих способностей обучающихся.

- Создать копилку нестандартных задач по математике.

В ходе работы мы обратили внимание, что успех во многом зависит от специального подбора задач. При подборе задач следует придерживаться следующих принципов:

- В каждой группе из пяти задач должно быть две-три, решение которых доступно большинству школьников и хотя бы одна задача – наиболее трудная.

- Задачи в задании должны быть разнотипными; однотипные задачи включаются периодически на протяжении длительного времени, что приводит к глубокому усвоению материала.

- Задачи располагаются сериями так, что в каждой группе имеются обязательно такие, которые можно решить, опираясь на ранее решенные задачи.

Задачи в сериях подбираются по типу рассуждений:

- Разбор случаев.

- Построение алгоритма.

- Доказательство от противного.

- Рассуждение по аналогии.

- Опровержение с помощью контрпримера.

Это могут быть задачи, объединённые общей идеей решения: на расстановку скобок и знаков; на перекладывание спичек; на разрезание; на проведение линий; на переливания; на работу; на взвешивание; задачи, решаемые с конца; на переправы; логические задачи-рассуждалки; математические ребусы.

Наблюдения показывают, что математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Именно нестандартные задачи способствуют развитию логического мышления в еще большей степени. Кроме того, они являются мощным средством активизации познавательной деятельности, вызывая у детей огромный интерес и желание работать.

Хотим познакомить вас с несколькими правилами, которые используем при решении нестандартных задач.

Первое правило: не пропустите самую простую задачу.

Второе правило: условия задач меняйте по очереди. Количество условий – конечное число, так что до всех рано или поздно дойдет очередь.

Третье правило: изменив одно условие, другое, связанное с ним обозначьте х, а потом подберите его так, чтобы вспомогательная задача решалась при данном значении и не решалась при увеличении х на единицу.

Четвёртое правило: подбирайте интересные условия задачи.

Пятое правило: если в задаче идет какой-то процесс и конечное состояние более определенно, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотреть последний шаг процесса, потом предпоследний и т. д.

Шестое правило: подбирайте задачи от простого к сложному, а если станет скучно, то переплетите задачи по уровню сложности.

Рассмотрим несколько задач и применим рекомендуемые правила.

1-й шаг. Мальчиков очень много. Пусть их будет на 2 меньше в следующей задаче.

«Трое мальчиков нашли х грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну».

Для доказательства установим, при каких х задача имеет решение.

При х=0, х=1, х=2 задача имеет решение, при х=3 задача не имеет решение.

Сформулируем похожую задачу.

Трое мальчиков нашли 2 гриба. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Пусть все трое мальчиков нашли разное число грибов. Тогда минимальное число грибов равно 3, поскольку 3=0+1+2. Но по условию число грибов меньше 3, поэтому два мальчика из трех нашли одинаковое число грибов.

При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все, пять мальчиков, нашли разное число грибов. Минимальное число грибов тогда должно равняться 10. (10 =0+1+2+3+4). Но по условию число грибов меньше 10, поэтому двое мальчиков нашли одинаковое число грибов. 

1-й шаг. Идет процесс, начальное состояние не определено, конечное – нулевое, т.е. не стало летящих лебедей.

Запускаем время в обратную сторону, придумав такую задачу:

Над озерами летели лебеди. На каждом взлетало пол-лебедя и еще столько, сколько теперь летело. Все взлетали с семи озер. Сколько было лебедей?

2шаг. Начинаем с нуля:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

(((0+24):2+24):2+24):2= 21 

1-й шаг. Лошадей и кузнецов слишком много, уменьшим пропорционально их количество, составив задачу.

Кузнец подковывает одно копыто за пять минут. Сколько времени потребуется четверым кузнецам, чтобы подковать пять лошадей?

Ясно, что минимально возможное время 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем действовать, не нарушая симметрии. Расположим пять лошадей по кругу. После того как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется пять тактов работы по пять минут. Во время 4 тактов каждая лошадь будет подковываться, а один такт отдыхать. В итоге все лошади будут подкованы за 25 минут.

2-й шаг. Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что 8=2·4, а 10=2·5. Тогда 8 кузнецов нужно разбить на две бригады по 4 человека в каждой, а лошадей – на два табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада кузнецов подкует первый табун, а вторая – второй.

Решение:

Если после третьего рыбака осталось 6 рыб, то после второго – 10, после первого – 16. Значит, весь улов составил 25.

Девочка несла в лукошке яблоки и встретила трех братьев. Старший взял у неё половину всех яблок и еще пол-яблока, средний взял половину оставшихся и ещё пол-яблока, младший взял половину нового остатка и ещё пол-яблока, после чего у девочки осталось 1 яблоко. Сколько яблок было в лукошке первоначально?

Решение:

Если в лукошке осталось одно яблоко после младшего брата, то после среднего осталось 3 яблока, после старшего 7 яблок. Всего было в лукошке 15 яблок.

Решение логических задач-рассуждалок с помощью таблиц.

1. Ксюша, Мила, Дима и Сережа собирались на карнавал. У них были маски медведя, лисы, клоуна и обезьяны. Дима не захотел быть ни клоуном, ни лисой. Костюм обезьяны надела девочка, но не Мила. Сережа не был клоуном. Кто в какой маске пошел на карнавал?
2. Три принцессы приехали на бал в белом, розовом и голубом платьях. Их туфли тоже были белого, розового и голубого цветов. Известно, что только у Анны цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Марианны не были белыми, Лилиана была в розовых туфлях. Какого цвета были туфли и платье у каждой из принцесс?
3. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. «Волосы одного из нас белые, другого – чёрные, третьего – рыжие, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии»,– заметил черноволосый. «Ты прав»,– подтвердил Белов. Какие у кого волосы?
4. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что

А) вода и молоко не в чашке;

Б) сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

В) в банке не лимонад и не вода;

Г) стакан стоит около банки и сосуда с молоком.

В какой сосуд что налито?

5. Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего – регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен [6].

 Конечно, может встретиться задача, к которой не удастся применить ни одного из перечисленных правил. Тогда нужно изобрести особый свой метод решения этой задачи.

Необходимо помнить, что решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате постоянного самоанализа действий по решению задач. 

Задачи на рассуждения «от противного».

Пример. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него нет кори: если бы у ребенка была корь, то на его теле была бы сыпь, но ее нет. Значит, у ребенка нет кори.

Задачи:

Классическая педагогика прошлого утверждала – «смертельный грех учителя – быть скучным». Когда ребенок занимается из-под палки, он доставляет учителю массу хлопот и огорчений, когда же дети занимаются с охотой, то дело идет совсем по-другому. Активизация познавательной деятельности ученика без развития его познавательного интереса не только трудна, но практически и невозможна. Вот почему в процессе обучения необходимо систематически развивать и укреплять познавательный интерес обучающихся и как важный мотив учения, и как стойкую черту личности, и как мощное средство воспитывающего обучения, повышения его качества.

Особенно эффективно данный вид компетентности развивается при решении нестандартных, занимательных, исторических задач, задач-фокусов, а так же при проблемном способе изложения новой темы: учитель создает такую ситуацию, чтобы проблема опиралась на личный опыт.