Развитие математических способностей школьников во внеурочное время

Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки, умения, применять их на практике. В связи с этим нужна такая организация обучения, при которой бы дети включались в работу. Многое зависит от учителя: как он организует работу, в том числе и с учетом уровня подготовленности класса, их интересов, индивидуальных и возрастных особенностей каждого учащегося, выделяя целесообразность той или иной формы внеклассной работы. Если учитывать все эти моменты, то можно так поставить внеклассную работу, при которой легко добиться высоких результатов.

Внеклассная работа определяется как составная часть учебно-воспитательной работы школы, как одна из форм организации досуга учащихся. Она бывает разнообразной по содержанию и формам.  Внеурочные занятия по математике решают целый комплекс задач по углубленному математическому образованию, развитию индивидуальных способностей ученика, максимальному удовлетворению их интересов и потребностей.

Почему ученик занимается математикой вне занятий? В младшем возрасте это интерес к математике как любимому предмету, в среднем и старшем – это либо интерес к математике как науке, либо профессионально-ориентационный интерес, связанный с предполагаемой послешкольной деятельностью.

Среди задач, которые можно решать на внеклассных занятиях выделяются две категории внеучебных задач.

Первая категория. Задачи типа математических развлечений (занимательные задачи). По поводу этой категории Б. Л. Кордемский пишет: «Первая категория внеучебных задач (очень пестрая по содержанию) прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени трудности и, прежде всего, начальные упражнения из цикла внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу, т. е. упражнения, предназначенные для тех, кто делает лишь первые шаги в мир математической смекалки».

Вторая категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности.

Рассмотрим каждую категорию отдельно.

Занимательные задачи в большинстве случаев содержат сюжет, доступный и понятный учащимся на начальных стадиях изучения математики. В структуре этих задач заложено проявление и развитие, например, таких параметров математических способностей, как догадка, смекалка, сообразительность, любопытство, любознательность и т. п.

В практике школы не предусмотрено решение задач занимательного характера непосредственно на уроке (нет прямого указания в программе, нет рекомендаций в методической литературе, отсутствует соответствующий материал в учебниках), в то время как для большинства людей, интересующихся математикой, первые живые впечатления от этой науки связываются с задачами или целыми книгами «развлекательного» плана. Задачи занимательного характера могут служить прекрасным способом вызывать у учащихся интерес к изучению математики.

Учитывая многообразие различного рода увлекательных, шутливых задач, для обеспечения целенаправленного и эффективного их использования необходима некоторая классификация занимательных задач.

Остановимся на классификации, предложенной одним из специалистов в области занимательных задач, Б. Л. Кордемским . Заметим, что классификация ведётся согласно операционно-тематическому принципу – по сюжетам в сочетании с группами однородных операций – действий, применяемых для решения задач, объединенных темой. Согласно этому принципу выделяют следующие задачи:

Особое значение имеют задачи, которые принято называть логическими. Основную, главную роль при решении таких задач играет правильное построение цепочки точных, иногда очень тонких, рассуждений. Термин «логическая задача» в методической литературе недостаточно четко определен. В большинстве случаев логическими задачами называют те, для решения которых необходимо лишь логическое мышление и не требуется математических выкладок. Поэтому их можно использовать для работы с учащимися различных классов без явной связи с материалом, изучаемым по школьной программе. Важно, что многие из задач такого рода носят занимательный характер. К сожалению, задач подобного рода практически нет на страницах школьных задачников. Их можно найти только в сборниках и книгах занимательного характера.

Среди широко распространенных логических задач выделим те, которые решаются способом так называемого «здравого рассуждения», способом предположений, составлением различных таблиц, вычерчиванием графов. Один из наиболее элементарных, примитивных случаев состоит в применении способа перебора.

Рассмотрим задачи, которые можно считать логическими, но решение любой из них опирается на «здравый смысл».

Задача 1. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Как осуществить перевоз, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту?

Схема рассуждений и ход решения.

Рассудительный ученик должен потребовать такое уточнение текста задачи: при крестьянине никто никого не ест! Без этого уточнения решать задачу невозможно.

Ознакомившись с текстом задачи, учащиеся могут сделать следующие выводы.

При решении данной задачи учащемуся прежде всего необходим «жизненный опыт», так как решение задачи не предполагает каких-либо сложных математических выкладок. По-видимому, в данной задаче проявляется навык проведения логических рассуждений и характерных для дедуктивного мышления умений находить логические следствия из данных начальных условий. Конечно, при решении этой задачи и при решении любой другой, необходимы навык полноценной логической аргументации, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

При формировании аналитико-синтетической деятельности у учащихся представляют интерес так называемые задачи-головоломки или, как называет их английский профессор Смаллиан, – «дурацкие штучки».

Приведем пример такой задачи.

Задача 2. Имеются две монеты на сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Схема рассуждений и ход решения.

Практика показывает, что эта задача ставит в тупик человека достаточно часто, поскольку увидеть ответ не так уж легко. Это совершенно не страшно, надо просто подробно исследовать ситуацию. Как это делать?

Нестандартность мышления проявляется и при решении таких задач, в которых встречаются слова одного рода, а подразумевается противоположный пол. Например, такая задача.

Задача 3. Сын отца полковника беседовал с отцом сына полковника. Кто с кем беседовал, если полковника при этом не было?

Схема рассуждений.

Стандартное понимание слова «полковник» приводит к стереотипному выводу, что полковник – мужчина, но в задаче «полковник» – женщина, т. е. брат полковника беседовал с мужем полковника.

Выше отмечалось, что приведенные задачи требуют для своего решения определенного «здравого смысла», но следует указать и на такие задачи, которые содержат в условиях очень много данных. Удерживать в памяти все факты, приведенные в условиях задачи, трудно, поэтому следует использовать вспомогательные записи или таблицы. Эти записи помогают исключить из рассмотрения нерешаемые варианты (противоречащие условию). Ниже приведены задача, решение которых требует использования вспомогательных таблиц.

Задача 4. Олег, Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть лучший математик, лучший спринтер и лучший художник класса. Известно, что:

В задаче речь идет о двух множествах (множество школьников и множество специальностей). Воспользуемся таблицей 3x3 клетки.

	Математик	Спринтер	Художник
Олег	-	-	+
Игорь	+	-	-
Оля	-	+	-

 

Из первого условия задачи следует, что Игорь не художник, ставим в таблице «-», во второй строке и в третьем столбце. Из второго условия следует, что Оля лучший спринтер и поэтому ставим знак «+» в третьей строке и во втором столбце, значит Оля не художник. Игорь не художник, художник – Олег, а лучшим математиком может быть только Игорь. Наглядно показано, что таблица значительно облегчила решение задачи.

Иногда приходится составлять таблицы с большим числом входов или рассматривать несколько таблиц. В этом случае можно использовать графы. Иногда граф может играть вспомогательную роль в сочетании с другими методами решения.

Графом называют схему (сетку, карту), составленную из нескольких точек, называемых вершинами графа, и нескольких отрезков (или дуг), соединяющих эти точки и называемых ребрами графа.

Применяя граф к решению логических задач, вершинам и ребрам графа обычно придают определенный смысл. Часто решение задачи получается наглядным и эффективным. Примером решения с использованием графов может служить следующая задача.

Задача 5. Студенты педагогического университета организовали эстрадный квартет. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Валерием, а студента географического факультета зовут не Леонидом. Михаил учится не на историческом факультете. Андрей не пианист и не биолог. Валерий учится не на физическом факультете, а ударник – не на историческом. Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и на каком факультете он учится?

Схема рассуждений и ход решения.

В этой задаче имеется три множества (студенты, инструменты, факультеты) по четыре элемента в каждом. Составление таблиц громоздко (придётся чертить три таблицы) и неэффективно. Воспользуемся графами. Обозначим студентов первыми буквами их имен: М, А Л, В; инструменты, на которых они играют: С, П, У, К; факультеты, на которых они учатся: Ф, Г, И, Б. Будем соединять элементы двух множеств сплошной линией, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие, и пунктирной линией, если такое отсутствует.

Пианист учится на физическом факультете, им может быть Леонид, потому что Андрей не пианист, Михаил играет на саксофоне, а Валерий не учится на физическом факультете. Тогда Андрей – ударник, так как Валерий – не ударник, и Андрей учится на географическом факультете, потому что ударник учится не на историческом и Андрей – не биолог. Михаил - биолог, а Валерий играет на контрабасе и учится на историческом факультете.

При отборе задач, предназначенных для той или иной цели, необходимы требования, которым бы отвечала выбранная система задач. Например, Ю. М. Колягин предъявляет следующие требования к задачам, которые могут быть использованы для развития гибкости мышления:

а) допускают несколько способов решения;

б) требуют конструирования нового способа из ранее изученных, применения вспомогательных приемов;

в) требуют необычного способа решения, при этом полезно
завуалировать необходимость необычного способа таким содержанием и структурой, которые по виду напоминают обычную стандартную задачу;

г) решаются известным способом, но необычное содержание задачи маскирует этот способ.

Система заданий повышенной трудности по математике позволяет:

- максимально использовать резервные возможности в развитии математических способностей каждого ученика;

- добиться быстрого и основательного усвоения углубленных программных знаний с экономией учебного времени;

- повысить интеллектуальный уровень учащихся;

- сформировать навыки выполнения умственных операций;

- повысить качество подготовки школьников по математике.

Основополагающим в процессе развития математических способностей является грамотный подбор задач. Видов задач большое количество, каждая задача выполняет свою отдельную функцию (чаще даже несколько функций). Так занимательные задачи направлены на формирование познавательного интереса к изучению математики, развивают математическую смекалку. Задачи повышенного уровня сложности предназначены для более глубокого, вдумчивого, осмысленного понимания пройденных тем школьного курса математики. В учебных пособиях наблюдается дефицит нестандартных задач, решение которых требует от учеников умственного напряжения, проявления самостоятельности и творчества.